Valeurs propres d'une matrice symétrique par blocs, proportionels à la matrice avec des '1' partout

**julien_4230** · 23/08/2013, 12h15

Bonjour,

Je chercher à trouver les valeurs propres de la matrice (" ' " désigne la transposée) :

A1 A2 A3 ... An
A2' A1 A2 ... An-1
A3' A2' A1 ... An-2
... ... ... ... ...
An' An-1' An-2' ... A1

où les Ai sont proportionnels à la matrice avec des 1 partout, le coefficient de propotionalité était réel strictement positif, et leur dimension est de type $\text{[math]}$ , avec pour tout i différent de 1 $\text{[math]}$ (pas forcément égaux! i.e. on n'a pas forcément des matrices carrées, mais on peut en avoir!). Par contre A1 est carrée.

On a donc une matrice réelle symétrique donc diagonalisable.

L'ennuie est que ces Ai ne sont pas inversibles... enfin il y a à mon sens d'autres ennuies... mais ça me rappelle un peu les matrices de Toeplitz symétriques...

Any idea ?

Merci à vous

invite76543456789 · 23/08/2013, 12h25

Salut,
Tu cherches a trouver les valeurs propres en fonction de quoi? Dans quel cadre te pose tu ce probleme?

**julien_4230** · 23/08/2013, 12h31

Mettons en fonction des dimensions des matrices et de leur coefficients de proportionnalité, appelons-les $\text{[math]}$ .

Je voudrais simplement trouver les valeurs propres, sans autre cadre particulier.

Merci !

**toothpick-charlie** · 23/08/2013, 12h36

de la façon dont tu as écrit la matrice en blocs, toutes les Ai sont carrées puisque c'est toujours A1 sur la diagonale.

A voir en vidéo sur Futura · Aujourd'hui

**julien_4230** · 23/08/2013, 12h59

Merci de cette remarque, j'ai très mal posé le problème.

Je reformule la matrice.

Elle est du genre :

A1 A2 A3 ... An ...
A2' B1 B2 ... Bn-1 ...
A3' B2' C1 ... Cn-2 ...
... ... ... ... ... ...
An' Bn-1' Cn-2' ... ...

$\text{[math]}$ sont carrées, mais pas forcément les autres matrices. De plus toutes les matrices sont proportionnelles à la matrice de dimension adéquate, mais avec des 1 partout. Mettons :

$\text{[math]}$ la matrice bloc générale de la matrice ci-dessus, $\text{[math]}$ , mettons la dimension $\text{[math]}$ (minuscule, "r" pour "row" et "c" pour "column"), par exemple pour $\text{[math]}$ : $\text{[math]}$ , et mettons le coeff de proportionnalité la lettre grecque associée, par exemple pour $\text{[math]}$ : $\text{[math]}$ .

Je voudrais trouver les valeurs propres d'une telle matrice, en fonction de la dimension de chacune des matrices et des coefficients de proportionnalité.

J'espère que cela va mieux.

**julien_4230** · 23/08/2013, 13h41

J'ai une idée. Je reviens plus tard.

**julien_4230** · 23/08/2013, 15h38

J'ai encore oublié de préciser que les coefficients de proportionalité de toute matrice de type $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ , avec $\text{[math]}$ , sont égaux (pourvu que l'on ait le même $\text{[math]}$ ...).

Alors le polynome caractéristique peut se mettre sous la forme :

déterminant de :

A1 A2 A3 ... An ...
AA2 B1 B2 ... Bn-1 ...
AA3 BB2 C1 ... Cn-2 ...
... ... ... ... ... ...
AAn BBn-1 CCn-2 ... ...

où les A1, B1, ... sont des matrices tridiagonales, alors que toutes les autres matrices sont nulles, sauf le coefficient tout en bas à droite, qui est le coefficient de proportionalité.

Une idée pour supprimer l'unique élément de chacun des blocs non diagonaux, et se ramener à une matrice trigonale ?

Valeurs propres d'une matrice symétrique par blocs, proportionels à la matrice avec des '1' partout

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