Exercices sur les taux

[Isis-mirka]

Bonjour,
Je me permets de vous déranger au sujet d'un exercice (qui n'avait pas été terminé en raison d'un manque d'informations).

On emprunte S euros au taux annuel ta; on rembourse chaque mois x euros pendant N mois.

1)Quelle relation y'a-t-il entre le taux mensuel tm et le taux annuel ta ?
Le prof a donné la formule : tm=exp(ln(1+ta)/12)-1 et il a montré que ce taux tm était >0 (vu que ta>0, ln(...)>0 et exp(....)>1).

Le problème est que je n'arrive pas à retrouver cette formule...pouvez vous me donner le "schéma" sur lequel il serait parti ?

2) On note, pour n=0,....,N, dn la somme due après n remboursements.
a) Exprimer dn+1 en fonction de tm, x et dn.
b) Déterminer le montant des échéances x en fonction de tm, N et S

3) On emprunte 200000 euros à une banque sur 20 ans à un taux de 5%.Quelles seront les mensualités , combien aura-ton payé au total ?

Je ne trouve pas la question 2 , et je suis par conséquent bloqué pour la 3. j'avais essayé d'établir une formule , mais le prof m'a dit que c'était faux...
Pouvez-vous m'aider ?

Je vous remercie d'avance
-----

[gg0]

Pour les intérêts composés, l'intérêt en fin de période est ajouté au capital.
1) Pour un taux t sur une période, si le capital de début est S, quel est le capital de fin de période ?
2) Même question pour n périodes.
3) combien de mois dans une année ?

Avec ça, tu fais tout ...

Cordialement.

[Isis-mirka]

Supposons que je dois rendre à la banque une somme S avec un taux mensuel t sur l'année.
Si je vous suis, au bout du premier mois,j'ai S1=S+S*t
au bout du 2eme mois,j'ai: S2=S1+t*S1
mais S+S*t, S1+S1*t : qu'est-ce que cela représente concrètement car je ne rend pas cette somme à la banque, je rend que celle qui vaut S12=......

pour la 2) , je ne comprend pas comment établir ce que je dois au bout de n+1 mois ...

Merci

[gg0]

Le taux correspond à une situation de prêt sans remboursement.
"Exprimer d_n+1 en fonction de t_m, x et d_n."
Dur de passer d'un mois à l'autre !!!

Cordialement.

[A voir en vidéo sur Futura]

[Isis-mirka]

et bien oui , c'est assez difficile pour moi (evidemment pas pour vous), je n'y arrive toujours pas....

[Isis-mirka]

j'ai une nouvelle expression: dn+1=dn+x*tm mais je nen sais pas si c'est correct , qu'en pensez-vous ?

[ansset]

bonjour isis,
je prolonge gg0 pour la première question.
celle ci effectivement cherche à mettre en relation le taux mensuel et le taux annuel.
on peut partir "à l'envers" comme tu commençais à le faire au message #3
si tm : taux mensuel, alors
au bout d'un mois , le facteur multiplicatif est bien (1+tm)
au bout de 2 mois , celui ci est encore multiplié par (1+tm)
on obtient un facteur global sur 12 mois dépendant de tm.
celui ci est équivalent à 1+ta ( pour l'année )
d'ou petite equation qui permet ensuite d'exprimer ta en fonction de tm.

[Isis-mirka]

ok merci pour la première question, je crois que j'ai compris
Pour la 2), pourriez-vous m'expliquer comment procéder pour trouver l'expression de dn+1


Merci d'avance

[gg0]

Ta formule est fausse !

Raisonnablement, il est facile de trouver dn+1, par un raisonnement accessible (autrefois) à un enfant de 10 ans. je te donne ce qu'on faisait faire au certificat d'études (passé entre 10 et 12 ans en 1930) :
On a fait un prêt, qu'on rembourse toutes les fins de mois par mensualités de 100 F. Sachant que le taux d'intérêt est 0,5% par mois et qu'on doit 2000F en début de mois, combien devra-t-on en fin de mois ?
La question que tu dois traiter est la généralisation de ça; elle était traitée en seconde BEP il y a peu.

Je trouve que tu attends beaucoup des autres alors que tu peux traiter facilement ces questions simples.

[Isis-mirka]

J'ai essayé de faire la 3: trouve t-on 875 euros à rembourser par mois avec au final 210000 euros à rembourser ?

Pour la 2:
S'il vous plaît, ne sois pas méprisant ni moqueur envers moi (et vers les autres personnes de mon age également), je vous assure que j'ai essayé de trouver cette satanée formule (je vous envoie tous les brouillons si vous n’êtes pas convaincu)....
Je vais essayer de clarifier encore un peu le problème pour essayer de comprendre :
on emprunte S euros à une banque avec un taux mensuel tm
Je dois rembourser cet argent sur N mois.
On pose dn la somme due apres n remboursements, c'est-a-dire l'argent qu'il me reste à rendre malgré mes n remboursements de x euros pendant les n mois qui ont passé.
Je dois trouver combien il me reste à rendre ( la somme due si je comprend bien) après n+1 remboursements ,donc après n+1 mois.
J'avais une somme de S euros empruntés
Je dois maintenant une somme S'=S*ta+S qui tient compte du taux auquel j'emprunte.
Je commence à donner x euros le premier mois , puis x euros le 2ème etc....jusqu'au Nème mois.
Entre temps , le nème mois , j'ai donné x euros.
Le (n+1)ème mois, je dois donc la somme S'-n*x euros ?

Je me trompe surement encore mais je vous voudrais tout de meme avoir votre avis, ou vos critiques (mais seulement des critiques constructives !)

Merci d'avance

[gg0]

Désolé,

mais je ne peux pas être sérieux quand je te vois écrire ainsi n'importe quoi !

Tu as l'énorme difficulté de tenir compte du fait que d'un mois à l'autre il y a des intérêts et aussi que à la fin du mois tu rembourses. Et tu n'arrives pas à dire ce qui reste dû (d_n+1) à la fin du mois sachant ce qui était dû (d_n) au début ?

Fais déjà l'exercice de certificat d'études ....
Et je ne plaisante pas : Si tu n'en es pas capable, tu ne mérites pas une aide ...


NB: "Je dois trouver combien il me reste à rendre ( la somme due si je comprend bien) après n+1 remboursements ,donc après n+1 mois." Non, ce n'est pas ce qui t'est demandé, je te l'ai déjà dit ! Tu "dois trouver combien il reste à rendre ( la somme due si je comprend bien) après n+1 remboursements ,donc après n+1 mois," connaissant la somme due au bout de n mois.

[Isis-mirka]

pour répondre à votre question, il me reste , à la fin du mois à rendre un peu moins d'argent qu'au début et comme on en rend x ,chaque mois , la somme due diminue de x il me semble..

[Isis-mirka]

je viens de voir votre NB, et je me disais , la formule ne serait pas dn+1=dn+x(tm+1) par hasard ? (j'ai repensé à ce que j'ai fais pour la question 1 mais la encore ne m'en veuillez pas si c'est faux ....)

[ansset]

ben non justement,
ce serait le cas s'il n'y avait pas d'interet.
par exemple : on me prete 1200 pour l'année que l'on rembourse 100 par mois.

or, avec interet , chaque mois une partie paye l'interet et ne rembourse pas le capital initial, donc
si tu emprunte 1200 et que tu rembourse 100 le premier mois, tu devra plus que 1200-100

edit : croisement, nouvelle formule fausse qui en plus t'amenerai à devoir plus à chaque mois , ce qui n'a pas de sens.

[Isis-mirka]

Bonsoir,
merci pour votre réponse.
Je me trompe surement encore mais du coup, on aurait:
dn+1=S-dn avec S la somme empruntée ?

[gg0]

Tu dois 1000. Le taux mensuel est 1% (t=0,01). Au bout d'un mois tu rembourses 100. Compte tenu des intérêts, combien dois-tu encore ?

En cas de réponse fausse à cet exercice de collège, je renonce.

[Isis-mirka]

Il est possible que ma vision des taux et des intérets soit fausse mais je dirais que je dois rendre 100 pour rendre la somme empruntée au départ et je dois aussi rendre une somme qui correspond au"bénéfice", c'est-a-dire, aux intérets qui est 0.01*100 non ?
je rendrais donc 100+0.01*100, soit pour mon probleme, x+tm*x, dnc x(tm+1) ?

Merci pour votre aide

[ansset]

non,
je prend le pb autrement.
tu es "mmauvais payeur".
tu empruntes 1000 , mais tu ne rembourse RIEN pas de x.
combien dois tu le mois suivant en fct de 1000 et tm ?
et maintenant si tu as payé x.
il te reste combien finalement à rendre ?

[Isis-mirka]

Si je ne rembourse rien , tant qu je ne rend rien, je dois toujours autant, donc 1000 +1000*tm non ?
et si j'ai payé x, x se soustrait à la somme précédente

Je vous remercie infiniment pour votre aide et votre patience , car je sais que c'est aussi pénible pour vous que pour moi ....

[Isis-mirka]

tant que j'y suis, puis-je vous demander si ma question est correcte: ma réponse est 875 euros par mois pour rendre au final 210000 euros

merci d'avance

[ansset]

non , c'est faux, mais tu ne dis pas comment tu es arrivé à ce resulltat.
et avant la 3)
tu n'as pas repondu par équation aux questions 2)

pour la 3) tu confond le taux annuel de 5% que tu assimiles à un taux global sur 20 ans.

[Isis-mirka]

Je voudrais essayer de prendre un exemple:
je dois S euros à la banque que j'ai emprunté en début d'année
si je suis votre raisonnement, au mois de juin, je dois beaucoup d'argent si je n'ai rien payé: je dois la somme que je devais rendre durant janvier, février mars, avril et mai + celle de juin si je suis a la fin du mois de juin.
Donc la somme due fin juin correpond celle due les mois précédents + celle de juin: dn+1=dn+somme due pour juin
Or, si je rend x euros par mois, alors on a dn+1=dn+x ? mais ou intervient tm dans mon égalité ?


Merci d'avance

[ansset]

tu l'as presque fait dans ton mess #19 sans finir ton raisonnement et ecrire l'équation demandée en 2)
si tu emprunte S , tu dois S(1+tm) le mois suivant puisque c'est un emprunt AVEC interet. ( tu l'as ecrit avec 100 )
si dans cette période tu as remboursé x alors il te reste à devoir
S(1+tm)-x.
comprends-tu le raisonnement STP ?

[Isis-mirka]

oui c'est plus clair merci.
Du coup, comment remplacer cette égalité pour répondre a la question ?

merci d'avance

[Isis-mirka]

Résumons:
si j' emprunte S ,je dois S(1+tm) .
Ce qu'il me reste à devoir est S(1+tm)-x si je commence à rembourser de x euros.
Or, si je suis la question, j'ai déjà versé n remboursements et je veux savoir combien il me reste à devoir après le remboursement suivant ( le fameux n+1).
Je sais qu'apres mes n remboursements, la somme due est dn et qu'près n+1 remboursements, je dois encore dn+1 euros
Or entre la somme due apres le nème et le (n+1)ème remboursement, j'ai juste x euros de moins a rendre

Sa va jusque-la ?

merci d'avance

[ansset]

Résumons:
si j' emprunte S ,je dois S(1+tm) .
Ce qu'il me reste à devoir est S(1+tm)-x si je commence à rembourser de x euros.
Or, si je suis la question, j'ai déjà versé n remboursements et je veux savoir combien il me reste à devoir après le remboursement suivant ( le fameux n+1).
Je sais qu'apres mes n remboursements, la somme due est dn et qu'près n+1 remboursements, je dois encore dn+1 euros
Or entre la somme due apres le nème et le (n+1)ème remboursement, j'ai juste x euros de moins a rendre

Sa va jusque-la ?

merci d'avance

je vais finir par craquer.
tu ecris toi même :
"Ce qu'il me reste à devoir est S(1+tm)-x si je commence à rembourser de x euros."
donc c'est vrai pour le 1er mois , mais aussi entre le mois n et le mois n+1
d(n+1)=d(n)*(1+tm)-x.

[ansset]

la question 2)b est un peu plus complexe, tu dois voir apparaitre une suite géometrique.
il est necessaire de bien la connaitre.

[Isis-mirka]

Pour la 2.b:
On sait que l'on rembourse x euros par mois pendant N mois pourrendre l'emprunt.
Donc , on pourrait déjà trouver une égalité (ce n'est pas la réponse mais peut -etre une piste) du type:
x*N=S+tm*S

Cette égalité est-elle correcte ?

De plus, vous parliez d'un suite géométrique, donc une expression de la forme Un=U0 +q^n (forme générale).
Il nous faut donc un parametre (le "n" de la formule) qui , lorsque le l'on fait varier, donne un résultat. Or, tm, S et N sont des termes fixes , sommes nous d'accord jusque-là ?
Merci

[ansset]

Pour la 2.b:
On sait que l'on rembourse x euros par mois pendant N mois pourrendre l'emprunt.
Donc , on pourrait déjà trouver une égalité (ce n'est pas la réponse mais peut -etre une piste) du type:
x*N=S+tm*S

Cette égalité est-elle correcte ?

ben non.
il semble que tu "lances" des formules sans même chercher à comprendre ce qu'elles veulent dire.
juste pour voir, comme ça.
tm*S est l'interêt du premier mois d'emprunt, pourquoi l'expression globale ne tiendrait elle compte QUE du premier mois.?

Utilise ce qu'on a déjà demandé.
je te met sur une piste
d(n+1)=d(n)*(1+tm)-x donc
essaye de developper par exemple
d(0)=S
d(1)=S*(1+tm)-x
d(2)=d(1)*(1+tm)-x soit
d(2)=S(1+tm)² -x(1+tm) -x

essayes d'ecrire d(3) et d(4) STP !!!
et sans sortir une formule simpliste qui te viendrait en tête par hasard.

[Isis-mirka]

je vais essayer
merci beaucoup