Polynome or not Polynome (complexe)

[comfiss]

Bonjour,

je dois résoudre (z^2n) - 2(z^n)cos (n*a) +1 =0 avec a réel et n entier naturel

Je ne sais pas comment le résoudre :

J'ai essayé de le résoudre comme un polynôme de degré 2 avec X=z^n

Je trouve 3 cas pour le discriminant (positif nul et négatif)

pour le positif il n'y a pas de solution car la fonction cosinus est défini sur [-1;1],
pour un discriminant nul j'ai trouvé z^n=1 ou -1
pou un discriminant négatif je ne trouve pas comment faire ... je suis bloqué ..

Mon raisonnement est il inadapté à l'exercice ? Faut il utiliser un autre méthode ( identité remarquable ? ou autre ) car j'ai remarqué que l'expression du début ressemblait à (a²-2ab+b²) mais je n'arrive pas à la modifier ..

Merci d'avance
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[gg0]

Bonjour.

la réponse est adaptée, à condition de travailler sérieusement : le discriminant est toujours négatif, donc tes deux premiers cas n'existent pas !!! D'ailleurs, c'est l'opposé d'un carré simple.

As-tu appris à résoudre les équations du second degré dans . Si oui, tu reconnais une racine carrée du discriminant et tu appliques donc les formules habituelles. Si ce n'est pas le cas, tu réécris l'équation sous la forme :

Puis tu écris le second membre comme un carré et tu utilises , valide aussi dans .

Cordialement.

NB : Il restera ensuite à déterminer les valeurs de z.

[comfiss]

.. Je ne comprend pas pourquoi le dicriminant est toujours négatif.

Car j'obtiens Δ=(2cos(na))²-2²
donc si cos(na) = 1 le discriminant est nul...

[comfiss]

J'ai éssayé avec la 2ème méthode mais je bloque à (X-cos(na))²=(cos(na)-1)(cos(na)+1)

[A voir en vidéo sur Futura]

[gg0]

Ben ... 0 est bien négatif.

En pratique, le cas discriminant=0 est un cas particulier des deux autres.

Par contre, tu es faible en calcul pour ne pas avoir terminé le calcul de ce discriminant en factorisant un carré évident. Car alors tu aurais vu qu'il est toujours négatif.

Pour la deuxième forme, je ne sais pas pourquoi tu as factorisé ce second membre qui, par une formule de trigo qu'on voit en fin de collège ou en début de lycée, se transforme en l'opposé d'un carré de réel, ce qui permettra de l'écrire comme le carré d'un complexe.

Allez, un peu plus de vigueur dans les calculs, de réflexion ou d'essais ...