Equation differentielle

[Huntere]

Bonsoir

Pourquoi on pose Yp=Acos(x)+Bsin(x) lorsque le second membre d'une équation différentielles est une fonction trigonométrique ? Yp ; solution de l’équation particulaire
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[C.B.]

J'imagine que la question porte sur les équations linéaires du second ordre à coefficients réels constants ?
Je suppose que c'est le cas dans ma réponse (mais il faudrait envisager d'être plus précis dans vos question à l'avenir, pour éviter au lecteur d'avoir à deviner).

La raison est que toute combinaison linéaire de exp(ix) et exp(-ix) peut se mettre sous cette forme. Il faut donc revoir le cours dans le cas où le second membre est exponentiel.

Attention toutefois, on ne pose Acos(x)+Bsin(x) que si :
1) i et -i ne sont pas solutions de l'équation caractéristique.
2) On a à droite que du sin(x) et du cos(x), pas du sin(2x) ni du cos(3x).
Les raisons là encore, sont à chercher du côté des exponentielles.

[gg0]

Bonjour.

La raison essentielle est que ça marche. Et, si tu sais dériver(*), tu peux facilement comprendre pourquoi, quand le second membre est de la forme A sin x, il faut mettre un cos dans la fonction que l'on essaie comme solution particulière.

Cordialement.

(*) C'est le minimum quand on fait des équations différentielles !!