Résolution non intuitive de l'équation des ondes

[stefjm]

Bonjour,
Je me pose deux questions bêtes à propos de la solution de l'équation de d'Alembert (Equation des ondes) en une dimension



dont la solution est en



D'où, deux questions :

1 Comment faire pour trouver cette solution sans savoir (et parachuter) le changement de variable magique kivabien? (h=ct-x et g=ct+x)

Pour l'instant, la seule solution honnête que j'ai trouvée (ie sans connaitre à l'avance le truc) est de transformer par Laplace la partie temporelle (t), par Fourier la partie spatiale (x), de trouver formellement la solution, puis de revenir aux originaux de Laplace, et de Fourier.

2 Comment se transforme un Laplacien (par rapport à l'espace) par une transformation de Laplace (temporel) ?

Merci d'avance.
-----

[invite4400ab52]

Bonjour,
Je sais résoudre cette équation comme étant l’évolution de la température d’un tige de longueur l dont les extrémités sont maintenues a 0 degré.

[stefjm]

Il me semble que vous confondez avec l'équation de la chaleur, non?
http://en.wikipedia.org/wiki/Fick%27...ion#Second_law

Cordialement.

[acx01b]

règle générale : quand on a une équation différentielle linéaire, on fait rentrer une exponentielle complexe dedans, juste pour voir

règle générale (bis) : si on met en entrée (y) d'une équa-diff linéaire homogène (sans membre de droite) une exponentielle complexe on obtient en sortie (membre de droite) une exponentielle complexe

dernière règle : l'ensemble des solutions d'une équation différentielle linéaire homogène ( membre droite égal = 0 et membre de gauche est une combinaison linéaire de dérivées partielles n-ièmes de y) est un E.V. et admet comme base un ensemble d'exponentielles complexes

c'est effectivement pour ça que fourier a développé sa théorie (transformée de fourier et de laplace)

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite4400ab52]

Bonjour,
Si on pose φ=u et D=c^2 on ne tombe pas sur la même équation.
Cordialement.

[invite47ecce17]

Bonjour,

1 Comment faire pour trouver cette solution sans savoir (et parachuter) le changement de variable magique kivabien? (h=ct-x et g=ct+x)

Il est tres naturel pourtant ce changement de variable, c'est l'un des premiers trucs qu'on a envie d'essayer au vue de la tete de l'equation.

Pour l'instant, la seule solution honnête que j'ai trouvée (ie sans connaitre à l'avance le truc) est de transformer par Laplace la partie temporelle (t), par Fourier la partie spatiale (x), de trouver formellement la solution, puis de revenir aux originaux de Laplace, et de Fourier.

C'est tres marteau pillon pour ecraser une mouche, pour une equation aussi evidente, le changement de variable me semble 10 000 fois plus simple.

2 Comment se transforme un Laplacien (par rapport à l'espace) par une transformation de Laplace (temporel) ?

Peux tu preciser ta question (une intégration par partie ne te donne pas la reponse?)?

[stefjm]

règle générale : quand on a une équation différentielle linéaire, on fait rentrer une exponentielle complexe dedans, juste pour voir
règle générale (bis) : si on met en entrée (y) d'une équa-diff linéaire homogène (sans membre de droite) une exponentielle complexe on obtient en sortie (membre de droite) une exponentielle complexe
dernière règle : l'ensemble des solutions d'une équation différentielle linéaire homogène ( membre droite égal = 0 et membre de gauche est une combinaison linéaire de dérivées partielles n-ièmes de y) est un E.V. et admet comme base un ensemble d'exponentielles complexes
c'est effectivement pour ça que fourier a développé sa théorie (transformée de fourier et de laplace)

Comment ces règles générales permettent de trouver ?

Si on pose φ=u et D=c^2 on ne tombe pas sur la même équation.

Puisqu'une équation de diffusion n'est pas une équation d'onde...
Je ne comprends toujours pas votre première intervention sur ce fil.

Cordialement.

[acx01b]

je pose



donc





là je me dis : mais je sais que l'ensemble des avec est dense dans l'ensemble des fonctions de (c'est la théorie de Fourier..)

donc je peux me restreindre à imaginaires purs et poser et d'où avec

et on la formule générale pour f(x,t) : n'importe quelle combinaison linéaire de ces


et finalement, je prends la partie réelle de ça et j'ai l'ensemble des solutions réelles

[stefjm]

Il est tres naturel pourtant ce changement de variable, c'est l'un des premiers trucs qu'on a envie d'essayer au vue de la tete de l'equation.

Je hais les mathématiciens.

En quoi ce changement de variable est naturel? Il m'a toujours paru parachuté...

C'est tres marteau pillon pour ecraser une mouche, pour une equation aussi evidente, le changement de variable me semble 10 000 fois plus simple.

Sans doute, mais c'est avec cette méthode que pour la première fois, j'ai été capable de trouver tout seul les solutions de l'équation des ondes.
Et puis, en tant qu'automaticien, les solutions dans les espaces transformés me parlent souvent mieux que les solutions dans l'espace de départ, ce qui fait que je reviens rarement aux originaux. (Sauf quand je discute avec des personnes qui ne sont pas à l'aise dans l'espace transformé.)

Peux tu preciser ta question (une intégration par partie ne te donne pas la reponse?)?

Je ne suis pas à l'aise avec la première transformée de Laplace (temporelle) sur l'équation d'onde en 3D, en particulier à cause du laplacien.
Pour l'intégration par partie, je ne vois pas trop...

Cordialement.

[acx01b]

2 Comment se transforme un Laplacien (par rapport à l'espace) par une transformation de Laplace (temporel) ?

il ne se transforme pas, par contre ce qu'on fait c'est une transformée de fourier par rapport aux 2 variables (aux n variables en n dimension) :



dans cet espace spectrale on a transformé toutes les dérivées partielles k-ièmes en termes

ou avec l'autre variable


ps : il y a des problèmes de convergence dans le cas général, alors ne l'utilise pas trop avec des matheux, limite toi aux profs de physiques

[stefjm]

je pose

Pourquoi bt+cx?
C'est ma question de départ.
Les mathématiciens trouvent cela naturel, évident, trivial, etc... et moi, je trouve cela tirer du chapeau! (Je suis pas mathématicien, même pas physicien...)

Pour l'exponentielle, j'arrive à deviner vu que ce sont les vecteurs propres des systèmes linéaires...

et finalement, je prends la partie réelle de ça et j'ai l'ensemble des solutions réelles

Non, on n'a même pas encore toutes les solutions, seulement les sinusoïdales...

il ne se transforme pas, par contre ce qu'on fait c'est une transformée de fourier par rapport aux 2 variables (aux n variables en n dimension) :

Gniark...
Ce qu'on fait ne m'intéresse pas ici, mais ce que je voudrais faire...



A quelles conditions a-t-on :



Inversion des dérivées sous le signe intégral?

ps : il y a des problèmes de convergence dans le cas général, alors ne l'utilise pas trop avec des matheux, limite toi aux profs de physiques

C'est justement un peu pour cela que je passe en Laplace. L'exponentielle réelle aide à la convergence.
Pour ce qui est des physiciens, j'évite. Ils font des maths de travers en disant ce que c'est rigoureux...

Cordialement.

[VirGuke]

Pourquoi bt+cx?
C'est ma question de départ.
Les mathématiciens trouvent cela naturel, évident, trivial, etc... et moi, je trouve cela tirer du chapeau! (Je suis pas mathématicien, même pas physicien...)

C'est naturel comme tout ce qui est naturel, parce qu'on l'a vu avant...

Après ça se justifie parce que c'est la façon la plus simple d'avoir une fonction assez générale qui ne fait apparaître que des constantes quand on la dérive. Comme l'a écrit acx01b on s'en sort avec des constantes après ce qui est vachement pratique, c'est pour ça qu'on commence souvent par cette méthode pour débroussailler le terrain et se faire une idée de la solution générale.
De façon générale ces fonctions s'accordent avec la linéarité des équations et se simplifient après dérivation et comme avec la théorie de Fourrier on peut reconstruire en général tout l'espace c'est parfait.

[acx01b]

Pourquoi bt+cx?

désolé, je voulais écrire exp(bt + ax)
(et surtout pas le c de la célérité de l'onde)

je n'ai fait aucune supposition, comme tu l'as dit j'ai juste utilisé le fait que les exponentielles complexes sont effectivement des fonctions propres des opérateurs différentiels

j'ai précisé : n'importe quelle combinaison linéaire de ces exponentielles complexes.
comme j'ai essayé de le dire, pour être vraiment rigoureux il faut préciser que l'ensemble des combinaisons exponentielles complexes en dense dans l'ensemble des fonctions, et qu'aucune combinaison linéaire des exponentielles qui n'ont pas r = omega / c ne peut être solution (pour justifier ça je filtrerais avec un filtre qui ne laisse passer qu'un certain (w,r) à gauche et à droite de l'équa diff de départ)


la transformée de laplace c'est la transformée de fourier de la fonction "dampée" par une exponentielle, mais ça ne marche que si la fonction est causale.

[VirGuke]

A quelles conditions a-t-on :



Inversion des dérivées sous le signe intégral?

En physique? En général tout le temps

Plus sérieusement mathématiquement de façon générale ça se fait avec le théorème de convergence dominée ou à la main pour les cas foireux. Un tour sur Wikipedia te donnera les détails théoriques.

L'idée c'est quand même que dans la réalité on trouve rarement des fonctions continue mais nul part dérivable et donc que les conditions mathématiques sont toujours plus que réunies, ne serait-ce que parce que la physique diverge rarement (jamais).

[stefjm]

C'est naturel comme tout ce qui est naturel, parce qu'on l'a vu avant...

On tourne en rond là! Merde, on tourne en rond.

Si "on" l'a pas vu, "on" fait comment?

Avec ma méthode marteau pilon, je trouve le résultat.

Y en a-t-il d'autres sans parachutage naturel...

Cordialement.

[stefjm]

désolé, je voulais écrire exp(bt + ax)
(et surtout pas le c de la célérité de l'onde)

Tu fais l'hypothèse sortie de derrière les fagots : bt+ax.

la transformée de laplace c'est la transformée de fourier de la fonction "dampée" par une exponentielle, mais ça ne marche que si la fonction est causale.

En physique, ça me va très bien.

En physique? En général tout le temps
Plus sérieusement mathématiquement de façon générale ça se fait avec le théorème de convergence dominée ou à la main pour les cas foireux. Un tour sur Wikipedia te donnera les détails théoriques.

Merci beaucoup. Ca me rassure, j'avais peur d'écrire des bêtises.
Le se transforme donc sans soucis particulier en par la transformée de Laplace?

puis en en transformée de Fourier?

Cordialement.

[VirGuke]

Tu fais l'hypothèse sortie de derrière les fagots : bt+ax.

Et la transformée de Laplace c'est pas sorti de derrière les fagots ?

Le se transforme donc sans soucis particulier en par la transformée de Laplace?

puis en en transformée de Fourier?

Cordialement.

Sauf cas pathologiques une transformée de fourrier transforme les dérivées de la variable d'intégration en *iw et laisse les autres variables inchangées.
Donc à priori, oui on peut inverser le laplacien en espace et l'intégrale sur le temps.

[inviteea028771]

Pourquoi faire une transformée de Laplace d'ailleurs? Juste Fourier ça marche bien, et tu te retrouve avec une équation différentielle ordinaire que l'on sait résoudre.


Sinon, pourquoi faire le changement de variable x+t et x-t?

Parce que

Tu te retrouve alors avec deux équations de transport qui incitent à utiliser ce changement de variable

[stefjm]

Et la transformée de Laplace c'est pas sorti de derrière les fagots ?

Aussi, mais au moins, cela donne une méthode de résolution systématique, applicable à d'autres équations.

Sauf cas pathologiques une transformée de fourrier transforme les dérivées de la variable d'intégration en *iw et laisse les autres variables inchangées.
Donc à priori, oui on peut inverser le laplacien en espace et l'intégrale sur le temps.

Merci beaucoup.

Cordialement.

[stefjm]

Pourquoi faire une transformée de Laplace d'ailleurs? Juste Fourier ça marche bien, et tu te retrouve avec une équation différentielle ordinaire que l'on sait résoudre.

Parce que mon objectif n'est pas tant de résoudre, mais de modéliser un système vérifiant cette équation.
J'ai l'habitude de décrire les systèmes par leurs pôles en transformée de Laplace et je ne l'avais jamais fait pour des équations d'ondes.

Du coup, je me suis demandé comment résoudre le truc en partant de rien. Juste TL, TF.

Sinon, pourquoi faire le changement de variable x+t et x-t?
Parce que
Tu te retrouve alors avec deux équations de transport qui incitent à utiliser ce changement de variable

Ah oui! Joli.
Très convainquant. Merci.

Et on peut faire le même genre de manip avec

?

Cordialement.

[invite47ecce17]

Je hais les mathématiciens.

Moi aussi!

En quoi ce changement de variable est naturel? Il m'a toujours paru parachuté...

Ce changement de variable est naturel parce qu'il se voit.
Tu peux deja faire un premier changement de variable pour eliminer le c, et tu te retrouves avec f_xx=f_yy, l'idée de symetriser/antisymétriser la situation est alors naturelle je trouve.

Sans doute, mais c'est avec cette méthode que pour la première fois, j'ai été capable de trouver tout seul les solutions de l'équation des ondes.

Tout comme il est beaucoup plus facile d'allumer un feu avec un briquet qu'avec un silex, sauf qu'il fallait etre sacrement fort pour inventer le briquet (ici la tranformée de Laplace et son utilité dans les problemes types EDP) alors que frotter deux silex tout le monde peut y penser (ici faire le changement de variable naif, qui fait que tout marche).

Et puis, en tant qu'automaticien, les solutions dans les espaces transformés me parlent souvent mieux que les solutions dans l'espace de départ, ce qui fait que je reviens rarement aux originaux. (Sauf quand je discute avec des personnes qui ne sont pas à l'aise dans l'espace transformé.)

Sauf que c'est tricher, parce que ce qui interesse les gens (les matheux, les physiciens) ce sont les vrais solutions (pas celle du "domaine de Laplace"). Tu peux faire encore plus simple, dire j'appelle les solutions \phi. Voila, la solution c'est \phi, j'ai resolu le probleme!!
En vrai, en analyse fonctionnelles et en EDP, on utilise souvent ce genre de demarche, du genre, je resoud dans un espace plus gros (ou j'ai plus d'outils), puis apres je montre qu'en fait mes solutions sont bien dans l'espace petit. Ce qui est dur, c'est pas de resoudre dans le gros espace (on l'a introduit pour ca) mais bien de revenir dans le petit. Pour Fourier (qui est plus puissant que Laplace en general pour des raisons theoriques) ou Laplace, c'est pareil, tu peux changer d'inconnu et resoudre l'equation satisfaite par la transformée de Fourier/Laplace, mais si tu ne fais pas la transformée inverse ensuite (ce qui est plus possible en Fourier qu'en Laplace, d'où la preference des matheux pour la premiere, entre autres), ben tu ne fais rien, mis a part donner un nom a la solution.
Note que parfois cela suffit pour avoir des propriétés qualitatves (existence, ou unicité) ce qui est en general deja beaucoup. Mais quand y a qqch de non trivial a faire, a un moment, il se retrouve.

Je ne suis pas à l'aise avec la première transformée de Laplace (temporelle) sur l'équation d'onde en 3D, en particulier à cause du laplacien.
Pour l'intégration par partie, je ne vois pas trop...

Tu veux integrer par partie disons pour f une fonction lisse à support compact, ca te donne
Du coup tu obtient qqch comme .

L'equation des ondes (du moins une solution elementaire) se resoud plutot en interpolant entre l'equation des ondes et l'equation de Poisson, l'equation de poisson se resoud aisément en passant en sphérique.

Ps: Si tu prend un demi espace pour faire ta tranformée de Laplace plutot que l'espace entrée tu vas te trouver avec des termes en plus, du genre la somme des s_if(0), qui sont assez malvenus.

[invite47ecce17]

Ps: En fait je viens de piger que tu ce que tu voulais calculer c'était (et pas faire la trasnformée sur le domaine spatial, mais temporel, je suis bete, tu l'avais ecrit en plus), dans ce cas oui, pour une fonction f assez regulière, tu peux permuter integrale et laplacien.

[stefjm]

Ce changement de variable est naturel parce qu'il se voit.
Tu peux deja faire un premier changement de variable pour eliminer le c, et tu te retrouves avec f_xx=f_yy, l'idée de symetriser/antisymétriser la situation est alors naturelle je trouve.
Tout comme il est beaucoup plus facile d'allumer un feu avec un briquet qu'avec un silex, sauf qu'il fallait etre sacrement fort pour inventer le briquet (ici la tranformée de Laplace et son utilité dans les problemes types EDP) alors que frotter deux silex tout le monde peut y penser (ici faire le changement de variable naif, qui fait que tout marche).

La proposition de Tryss me parait beaucoup plus naturelle et je me suis dit en la lisant : Mais merde, pourquoi je ne l'ai pas vu tout seul!
Par rapport au silex, briquet, elle est où?

Sauf que c'est tricher, parce que ce qui interesse les gens (les matheux, les physiciens) ce sont les vrais solutions (pas celle du "domaine de Laplace"). Tu peux faire encore plus simple, dire j'appelle les solutions \phi. Voila, la solution c'est \phi, j'ai resolu le probleme!!

Mince alors, je ne fais pas parti des gens!
Il y a plein d'autres gens (des automaticiens ou des traiteurs de signaux) qui voient aussi bien les choses dans l'espace transformé que dans l'espace original.
C'est même pire que cela, ils voient mieux les choses dans l'espace transformé.

Donc, ce n'est pas tricher.

Appeller phi le truc qu'on cherche est classique : Les mathématiciens ont fait le coups avec 1 (X-1=0), -1 (X+1=0), racine(2) (X^2-2=0) , i (X^2+1=0) et plein d'autres...

En vrai, en analyse fonctionnelles et en EDP, on utilise souvent ce genre de demarche, du genre, je resoud dans un espace plus gros (ou j'ai plus d'outils), puis apres je montre qu'en fait mes solutions sont bien dans l'espace petit. Ce qui est dur, c'est pas de resoudre dans le gros espace (on l'a introduit pour ca) mais bien de revenir dans le petit. Pour Fourier (qui est plus puissant que Laplace en general pour des raisons theoriques) ou Laplace, c'est pareil, tu peux changer d'inconnu et resoudre l'equation satisfaite par la transformée de Fourier/Laplace, mais si tu ne fais pas la transformée inverse ensuite (ce qui est plus possible en Fourier qu'en Laplace, d'où la preference des matheux pour la premiere, entre autres), ben tu ne fais rien, mis a part donner un nom a la solution.
Note que parfois cela suffit pour avoir des propriétés qualitatves (existence, ou unicité) ce qui est en general deja beaucoup. Mais quand y a qqch de non trivial a faire, a un moment, il se retrouve.

Bah, en physique, il n'y a jamais de problèmes...
En fait, on fait bien plus que simplement donner un nom.
Cela permet de manipuler facilement et donc de comprendre des trucs qui dans l'espace original seraient délirant à comprendre. (Voir incompréhensible)

Tu veux integrer par partie disons pour f une fonction lisse à support compact, ca te donne
Du coup tu obtient qqch comme .

Merci.
Pour cela, il va falloir que je travaille un peu pour comprendre si je peux ou pas transformer facilement.

Ps: Si tu prend un demi espace pour faire ta tranformée de Laplace plutot que l'espace entrée tu vas te trouver avec des termes en plus, du genre la somme des s_if(0), qui sont assez malvenus.

Pas tant que cela, ce sont les conditions initiales, plutôt pratique.

Cordialement.

[stefjm]

Ps: En fait je viens de piger que tu ce que tu voulais calculer c'était (et pas faire la trasnformée sur le domaine spatial, mais temporel, je suis bete, tu l'avais ecrit en plus), dans ce cas oui, pour une fonction f assez regulière, tu peux permuter integrale et laplacien.

Merci, ça m'arrange vachement!

[invite47ecce17]

[COLOR=#222222]
La proposition de Tryss me parait beaucoup plus naturelle et je me suis dit en la lisant : Mais merde, pourquoi je ne l'ai pas vu tout seul!
Par rapport au silex, briquet, elle est où?

C'est pourtant la meme que la mienne en fait, c'est elementaire egalement, c'est du silex.

Mince alors, je ne fais pas parti des gens!
Il y a plein d'autres gens (des automaticiens ou des traiteurs de signaux) qui voient aussi bien les choses dans l'espace transformé que dans l'espace original.
C'est même pire que cela, ils voient mieux les choses dans l'espace transformé.

Tout depend de ce que tu veux faire au final. Si tu cherches des propriétés qualitatives a ta solution, alors oui une transformée integrale peut suffire. Meme pour prouver l'existence, cela peut suffire. Mais si le probleme est de trouver les solutions a l'equation (ou de prouver leur existence/unicité), alors ne pas calculer la transformée inverse c'est tricher (resp. ne pas prouver la convergence de la transformée inverse)

Donc, ce n'est pas tricher.

Tout depend de ce que tu veux faire.

Appeller phi le truc qu'on cherche est classique : Les mathématiciens ont fait le coups avec 1 (X-1=0), -1 (X+1=0), racine(2) (X^2-2=0) , i (X^2+1=0) et plein d'autres...

Bien sur, mais il y a des choses non triviales a faire, par exemple prouver que phi en question n'existe pas deja. Si apres avoir appelé phi, la solution de X+1=0 on appelle psi (au lieu de realiser 2phi) la solution de X+2=0, on ne fait rien.

[acx01b]

Tu fais l'hypothèse sortie de derrière les fagots : bt+ax.

donc tu n'as toujours pas compris la théorie des équa diff linéaires...

- l'espace vectoriel engendré par les exponentielles complexes est dense dans l'espace des fonctions (théorie de fourier)
- une équa diff linéaire homogène a comme ensemble de solution l'espace vectoriel engendré par un sous-ensemble de ces exponentielles complexes

[stefjm]

C'est pourtant la meme que la mienne en fait, c'est elementaire egalement, c'est du silex.

C'est marrant la psychologie humaine sur les approches mathématiques. (enfin, surtout la mienne...)
Je me doutais bien que c'était lié mais l'une me plait beaucoup plus que l'autre.

Tout depend de ce que tu veux faire au final. Si tu cherches des propriétés qualitatives a ta solution, alors oui une transformée integrale peut suffire. Meme pour prouver l'existence, cela peut suffire. Mais si le probleme est de trouver les solutions a l'equation (ou de prouver leur existence/unicité), alors ne pas calculer la transformée inverse c'est tricher (resp. ne pas prouver la convergence de la transformée inverse)

Je commence à comprendre pourquoi les mathématiciens aiment moins la transformée de Laplace que celle de Fourier. C'est plus difficile de remonter à l'original. Je m'étais toujours demander pourquoi il y avait tant de travaux sur Fourier et si peu (enfin, beaucoup beaucoup moins) sur Laplace.

En tout cas, merci à tous pour votre éclairage.

Cordialement.

PS: En maths, si rien n'est interdit, on peut diviser par 0?

[acx01b]

j'ai une question passionnante : comment vous justifiez autrement qu'en passant par

" l'E.V engendré par les exponentielles complexes exp(i w t + i r x) est dense dans l'espace des fonctions de 2 variables"

que toutes les solutions sont de la forme f(ct - x) + g(ct + x) ?

[stefjm]

donc tu n'as toujours pas compris la théorie des équa diff linéaires...

- l'espace vectoriel engendré par les exponentielles complexes est dense dans l'espace des fonctions (théorie de fourier)
- une équa diff linéaire homogène a comme ensemble de solution l'espace vectoriel engendré par un sous-ensemble de ces exponentielles complexes

Pour les EDO, je dois être à peu près au point.
Pour les EDP, j'ai moins l'habitude...

j'ai une question passionnante : comment vous justifiez autrement qu'en passant par
" l'E.V engendré par les exponentielles complexes exp(i w t + i r x) est dense dans l'espace des fonctions de 2 variables"
que toutes les solutions sont de la forme f(ct - x) + g(ct + x) ?

La symétrie des opérateurs me suffit, mais je ne suis pas mathématiciens...
La réponse si accessible m'intéresse aussi.

Cordialement.

[acx01b]

la seule manière à peu près rigoureuse à mon sens mais qui utilise à fond les transformées de Fourier :

c'est de considérer dès le départ que f(x,t) est la transformée inverse d'une fonction (ou plutôt d'une distribution..) F(w,r)



on suppose qu'il existe non nul avec

on écrit que f respecte l'équation des ondes

on filtre par pour les histoires de convergence

et on montre que c'est différent de 0 en utilisant l'égalité de parseval