Manuscrit à déchiffrer (pseudo-fonctions ?)

[Skippy le Grand Gourou]

Salut,

Je suis en train de relire un exercice qu'on a fait en cours, et je comprends rien... Donc ce qui me pose problème est sur le fichier en pièce jointe.

Juste pour le replacer dans le contexte, il s'agit (je crois) de montrer que :


Je précise également que je suis une bille en maths, et que je ne sais pas ce qu'est une pseudo-fonction (et d'ailleurs je veux pas vraiment le savoir, d'autant que je n'aurais pas le temps d'approfondir le sujet...)...

Donc si quelqu'un pouvait m'aider à déchiffrer cette correction...

Merci.

PS : J'en profite pour faire un peu de pub, j'ai un problème de signe dans une intégration par résidus, si quelqu'un a une idée le post est là...

EDIT : J'ai oublié l'image !
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[invite6b1e2c2e]

C'est quoi ton epsilon ? Il manque pas quelque chose ?
Comme une limite en epsilon ?
De plus, pour ce genre de chose, il faut préciser la dimension dans laquelle tu travailles je crois.
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rvz

[Skippy le Grand Gourou]

Merci de ton intérêt. Alors je précise un peu les choses : p est un quadrivecteur impulsion-énergie (du type (E/c, px, py, pz)), et le but de l'exercice est de prouver que le propagateur de Feynman (que j'ai pas trop envie de réécrire, parce que d'une part c'est long et d'autre part ça n'avancera pas à grand chose, puisqu'il y a un peu de chemin à faire avant d'arriver à l'étape que j'ai décrite dans le premier post) peut s'écrire sous la forme :

On ne précise rien sur epsilon, mais a priori il tend vers 0 et je crois que c'est pour tourner autour des pôles en ...

[invite6b1e2c2e]

On ne précise rien sur epsilon, mais a priori il tend vers 0 et je crois que c'est pour tourner autour des pôles en ...

Ok, on va reprendre ça doucement, parce que je suis pas bien sûr d'avoir bien compris (ah ! ces physiciens )...
Par définition, pour régulière à suport compact

Contrairement à ce que tu as écris.
Si est régulière, , enfin en gros, au voisinage de zéro. (le reste est intégrable quand on divise par x, donc la limite en epsilon n'importe pas).
De plus, x->1/x est impaire, donc (on intègre symétriquement).
Le dernier terme est tel que la convergence de l'intégrale est justifié. Ainsi vp(1/x) est bien une distribution.

Maintenant, regardons

Il est clair que f_e est une distribution. Notre but est de trouver la distribution limite quand e tend vers 0.
Soit une fonction régulière à support compact.
Alors vers quoi converge
En fait en dehors du point x =0, il n'ya pas de problème, i.e. si est à support ne contenant pas 0, clairement l'intégrale tend vers , où f = 1/x, ce qui revient au même que vp(1/x) puisque est nulle sur un voisinage de 0.
Clairement n'intervient donc que la partie au voisinage de zéro. On peut donc supposer que le support de est dans [-a,a], avec a aussi petit qu'on veut.
On écrit donc
Et on voit que l'intégrale vaut
à , et ce pour tout a >0. Enfin, il suffit d'appliquer le théorème des résidus à la première intégrale pour obtenir le résultat. Je te laisse préciser les contours.

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rvz, ouf ! c'était difficile !

[A voir en vidéo sur Futura]

[Skippy le Grand Gourou]

Ok, merci pour ton aide. J'ai pas encore tout compris, mais je vais essayer de creuser un peu tout ça, et ça devrait s'améliorer.