Définition d'un morphisme (hors théorie des catégories)

[Médiat]

Bonjour,

J'ouvre un nouveau fil sur ce sujet pour ne pas "polluer" celui-ci :http://forums.futura-sciences.com/ma...ml#post4788666

La définition de wikipedia, pour "morphisme de groupes" commence par "soit et deux groupes", donc avant même de pouvoir parler d'une application entre et , il faut démontrer que ce sont 2 groupes (ce qui fait perdre un peu de l'intérêt de la notion de morphisme).

La définition générale donnée ici et là (wikipedia, Tryss dans le fil cité ci-dessus, etc.) est "Un morphisme est une application qui conserve la structure", or l'application du groupe monstre dans n'importe quel groupe abélien non simple qui a tous élément fait correspondre l'élément neutre est bien un morphisme (cf. la définition "algébrique"), je ne vois pas en quoi la structure est conservée.
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[Seirios]

Bonjour,

Je pense qu'il serait plus clair de dire qu'un morphisme est compatible avec la structure de groupe, plutôt de dire qu'il la conserve.

Sinon, je ne vois pas en quoi parler de morphismes de groupes uniquement entre groupes est si gênant. D'abord, c'est sans doute une question de pédagogie : il serait plus lourd d'introduire la notion de morphisme en utilisant les langages. Ensuite, en théorie des groupes, on travaille avec des groupes, donc....

[Médiat]

Bonjour,

Je pense qu'il serait plus clair de dire qu'un morphisme est compatible avec la structure de groupe, plutôt de dire qu'il la conserve

Qu'il soit compatible est effectivement bien plus acceptable (et me semble général).

Sinon, je ne vois pas en quoi parler de morphismes de groupes uniquement entre groupes est si gênant.

Parce que cela oblige à démontrer que l'on a deux groupes avant de démontrer qu'il y a un morphisme, alors que l'on peut utiliser un morphisme pour montrer qu'une structure est un groupe (je suis sûr que vous connaissez des exemples de telles démonstrations ).

D'abord, c'est sans doute une question de pédagogie : il serait plus lourd d'introduire la notion de morphisme en utilisant les langages.

Assurément, c'est d'ailleurs bien pour des raisons pédagogiques que j'ai créé un nouveau fil et non continué le précédent.

[gg0]

Bonjour Médiat.

Je vois ton souci d'avoir à prouver qu'il s'agit de groupes. Mais il me semble que l'ensemble de départ doit déjà être muni d'une structure de groupe pour que ce soit intéressant. Ensuite, l'ensemble d'arrivée doit au moins être muni d'une LCI. On n'a effectivement pas besoin que ce soit un groupe, et ne considérer que l'image de l'application. Par exemple si on considère l'application de dans qui associe à n l'entier 2ⁿ, on peut montrer qu'elle définit un morphisme de groupes de dans (*) sans trop s'occuper du rationnel 0.

En fait tout ça est une question de présentation au départ. Mais je suis tout à fait d'accord avec le fait que "conserve la structure" ne veut rien dire sauf si c'est "est compatible avec les opérations, mais alors pourquoi pas le dire. Par contre je comprendrais peu qu'on définisse un morphisme de groupe sans que l'ensemble d'arrivée en soit un.

Cordialement.

(*) ou un de ses sous-groupes contenant les puissances de 2, celui qui ne contient qu'elles par exemple.

[A voir en vidéo sur Futura]

[Médiat]

Bonjour gg0

l'ensemble d'arrivée doit au moins être muni d'une LCI

C'est pourquoi je milite pour qu'on parle de morphisme "pour le langage des groupes" et si l'ensemble d'arrivée est un magma, ça marche très bien.

Par contre je comprendrais peu qu'on définisse un morphisme de groupe sans que l'ensemble d'arrivée en soit un.

Par exemple, pour démontrer que l'ensemble d'arrivée, ou plutôt l'image du morphisme, est un groupe. En particulier un morphisme ne permet pas de dire quoi que ce soit sur le complémentaire de son image, par exemple si on reprend votre exemple avec le compactifié d'Alexandroff de au lieu de , l'espace d'arrivée n'est pas un groupe.

Une notion que je trouve difficile à définir dans ce cadre (sinon il y a des définitions précises) est justement la notion de structure : pourquoi parler de morphisme de groupe et pas de morphisme de groupe abélien, de morphisme de groupe simple, etc. jusqu'où doit-on aller pour bien définir la notion de morphisme de la structure XXX ? Alors qu'il est si simple et sans ambiguïté de donner la définition en n'utilisant que le langage.

[gg0]

Effectivement,

"pour le langage des groupes" est pas mal, bien qu'un peu compliqué à comprendre pour un débutant. Et "pour les lois de groupes" ? cela ne conviendrait-il pas ?

Dans mon exemple, j'avais choisi parce que justement n'est pas un groupe.

Cordialement.

[Médiat]

"pour le langage des groupes" est pas mal, bien qu'un peu compliqué à comprendre pour un débutant. Et "pour les lois de groupes" ? cela ne conviendrait-il pas ?

Je n'ai pas d'état d'âme sur ce point, on pourrait désincarner encore plus en parlant de morphisme entre structures munies d'une LCI, dans ce cas précis on pourrait parler de morphisme de magmas, puisque aucun axiome ne pèse sur cette structure à part d'interpréter une LCI (cela revient donc au même).

[Dicolevrai]

Salut à tous!
J'ai l'impression d'avoir manqué quelque chose. A ce niveau, juste que, morphisme est un mot générique (sans complément ne veut rien dire). Morphisme signifie juste, conserve la morphologie (ou la forme, ou les structures), compatible avec les lois,...

On parle alors de morphisme de groupes, d'anneaux, de corps, de modules, d'espaces vectoriels (ou application linéaire ici), d'algèbres,...

Bon après-midi!

[Médiat]

Bonjour,

Vous devriez relire les messages qui précèdent le votre

[Médiat]

J'ai pensé à un autre exemple encore plus parlant :

Soit où est la relation "divise".

Soit où est la relation d'ordre usuelle.

Soit , définie par .

Il est facile de vérifier que , autrement dit est un morphisme bijectif (mais pas un isomorphisme) de dans , pourtant j'ai bien du mal à dire que (l'identité en fait) conserve la structure initiale. Par contre dire que c'est un morphisme pour le langage constitué d'une relation binaire, ne me pose aucun problème.

[Mocassins]

Justement, un morphisme au sens des langages entre deux réalisations d'un langage ne comportant aucun symbole de relation sera un isomorphisme si et seulement si il est de plus bijectif.
Dans le cadre de début d'études supérieures où les structures font rarement intervenir des relations, et où on s'intéresse très peu à des résultats du genre "G et G' vérifient les mêmes formules closes", il me semble plus logique de définir les morphismes avec le minimum nécessaire et effectif.
Comme il n'est pas difficile de montrer qu'une application d'un groupe dans un magma qui vérifie la condition du morphisme induit un morphisme de groupes, la distinction relève (dans le cas où les structures n'interprètent aucune relation) de formalités de définition.


Cela dit je pense aussi qu'il serait intéressant d'expliciter en cours le lien entre l'existence d'isomorphisme et la ressemblance de deux structures; seulement introduire en bonne et due forme les notions syntaxiques et sémantiques nécessaires demanderait pas mal de travail supplémentaire.

[Médiat]

Justement, un morphisme au sens des langages entre deux réalisations d'un langage ne comportant aucun symbole de relation sera un isomorphisme si et seulement si il est de plus bijectif.

Pourquoi "justement" ?

Dans le cadre de début d'études supérieures où les structures font rarement intervenir des relations,

On ne voit plus les relations d'ordre ou d'équivalence ?

et où on s'intéresse très peu à des résultats du genre "G et G' vérifient les mêmes formules closes", il me semble plus logique de définir les morphismes avec le minimum nécessaire et effectif.

Quoi de plus économique que le langage qui est, de toute façon, utilisé dans la définition des morphismes, puisque l'on ne fait pas intervenir les axiomes ; pour avoir un morphisme de groupes, il faut des groupes, pour un morphisme de LCI il suffit d'une LCI ; regardez aussi l'exemple de gg0, si on n'enlève pas le 0 de l'image ou si on ajoute un point à l'infini, vous trouvez normal de parler de morphisme de groupe alors que l'ensemble d'arrivée n'est pas un groupe ?

Comme il n'est pas difficile de montrer qu'une application d'un groupe dans un magma qui vérifie la condition du morphisme induit un morphisme de groupes, la distinction relève (dans le cas où les structures n'interprètent aucune relation) de formalités de définition.

Ce que vous affirmez ici est dangereux (le morphisme du groupe trivial dans (IN, +) ne montre pas que (IN, +) est un groupe, je sais que ce n'est pas ce que vous vouliez dire, mais cela pourrait être compris ainsi) ; en tout état de cause, je ne parle ici, que de vocabulaire

Cela dit je pense aussi qu'il serait intéressant d'expliciter en cours le lien entre l'existence d'isomorphisme et la ressemblance de deux structures; seulement introduire en bonne et due forme les notions syntaxiques et sémantiques nécessaires demanderait pas mal de travail supplémentaire.

C'est bien plus qu'une ressemblance, et il est vrai que sans aborder ce point, je vois à peine, pour ne pas dire pas du tout, l'intérêt des isomorphismes

A tout hasard, l'expression "conserve la structure" me déplait fortement dans le cas d'un morphisme, pour les raisons explicitées ci-dessus, je pourrais, presque, l'accepter pour les isomorphismes (presque seulement, car si on me demande de montrer qu'il y a un isomorphisme de groupe entre deux structures, je me sens obligé de montrer d'abord que les deux structures sont des groupes, alors que c'est totalement inutile : il n'y a aucun axiome à vérifier pour établir qu'il y a un morphisme entre deux structures). Voir aussi le dernier paragraphe de mon message #5.

[Mocassins]

Je disais justement parce que vous présentiez un exemple dans lequel la définition de morphisme injectif diffère de celle de monomorphisme (je ne me souviens plus si c'est le bon terme); le fait qu'il n'y ait pas de distinction entre ces deux caractéristiques en l'absence de relation justifie selon moi qu'on ne s'intéresse qu'à l'aspect "algébrique" des propriétés des morphismes.
Dans un cas où

En license et en prépa, il est rare qu'on s'intéresse à une structure qui interprète des relations, celles-ci sont souvent traitées à côté. Les relations d'ordre et les relations d'équivalence sont peu traitées dans le cours.
Je ne dis pas que les relations ne sont pas présentes dans le cadre d'étude de license, mais que l'accent n'est pas porté sur elles, ce qui est cohérent avec l'absence de notions de langage mathématique dans les programmes.

Je suis d'accord sur le reste.
Pour ce qui est du terme "conserve la structure", le fait que l'existence d'un morphisme surjectif, injectif entre deux groupes implique qu'ils possèdent des propriétés en commun va dans ce sens.
Mais parler de conservation de structure sans dire ce qu'est la structure ni ce que conserver signifie dans ce cas est de toute façon hasardeux.

[Médiat]

Bonjour,

Pour ce qui est du terme "conserve la structure", le fait que l'existence d'un morphisme surjectif, injectif entre deux groupes implique qu'ils possèdent des propriétés en commun va dans ce sens.

Comme il s'agit alors d'un isomorphisme, comme je l'ai écrit dans mon message précédent, cela me gêne moins (mais "moins" seulement à cause du dernier paragraphe du message #5), et "conserve la structure", dans le cas d'un isomorphisme me gêne moins que "conserve la structure de groupe" (par exemple).

En fait c'est l'existence d'un isomorphisme entre deux structures qui permet d'affirmer que ces structures sont "identiques", ce ne peut donc être la définition de "isomorphisme".

Je rappelle que le fait que deux structures vérifient exactement les mêmes formules du premier ordre ne garantit pas qu'elles soient isomorphes (même si elles sont de même cardinal).

[Dicolevrai]

Je me réfère dans ce post, essentiellement à la cette page de wikipedia.

Pour parler de morphisme entre ensemble, les deux ensembles doivent être muni de la même structure. En utilisant la définition donnée par wikipedia, on montre sans douleur qu'il y a équivalence entre:

isomorphisme de groupes et morphisme de groupes, bijectif;
isomorphisme de anneaux et morphisme de anneaux, bijectif;
isomorphisme de espaces vectoriels et morphisme de espaces vectoriels, bijectif;
isomorphisme de algèbres et morphisme de algèbres, bijectif;

Le problème se pose au niveau des morphismes d'ensembles ordonné. On peut regarder ce problème sous deux angles.
1-) Si on modifie la définition de morphisme d'ensembles ordonnés en remplaçant l'implication par l'équivalence (i.e. on écrit plutôt: ), alors, on aurait l'équivalence entre isomorphisme d'ensembles ordonnés et morphisme de d'ensembles ordonnés, bijectif. Dans ce cas, l'exemple de Médiat ne sera plus un morphisme d'ensembles ordonnés plus que 2 est inférieur à 3, mais 2 ne divise pas 3.

2-) Dans la définition d'isomorphisme, il est dit que les deux ensembles doivent avoir la même structure. Pour les groupe, anneaux, algèbres,... pas d’ambiguïté. Mais, un ensemble totalement ordonné et un autre partiellement ordonnés ont la même structure?

Bon après-midi!

[Médiat]

Pour parler de morphisme entre ensemble, les deux ensembles doivent être muni de la même structure.

Qu'appelez-vous structure ici ?

isomorphisme de groupes et morphisme de groupes, bijectif;
isomorphisme de anneaux et morphisme de anneaux, bijectif;
isomorphisme de espaces vectoriels et morphisme de espaces vectoriels, bijectif;
isomorphisme de algèbres et morphisme de algèbres, bijectif;

Soyons simple, et quand on sait de quoi on parle, c'est une évidence : un morphisme bijectif est toujours un isomorphisme s'il n'y a pas de symbole de relation dans le langage.

Le problème se pose au niveau des morphismes d'ensembles ordonné.

Quel problème ? Il n'y a pas de problème.

1-) Si on modifie la définition de morphisme d'ensembles ordonnés en remplaçant l'implication par l'équivalence (i.e. on écrit plutôt: ), alors, on aurait l'équivalence entre isomorphisme d'ensembles ordonnés et morphisme de d'ensembles ordonnés, bijectif. Dans ce cas, l'exemple de Médiat ne sera plus un morphisme d'ensembles ordonnés plus que 2 est inférieur à 3, mais 2 ne divise pas 3.

Quel est l'intérêt d'une telle remarque ? Bien sûr que si l'on change les définitions on n'a pas les mêmes résultats, mais la définition de morphisme acceptée par tous est ici , définition qui ne pose de problème à personne à part vous semble-t-il. Ce n'est d'ailleurs absolument pas le sujet de ce fil !

2-) Dans la définition d'isomorphisme, il est dit que les deux ensembles doivent avoir la même structure.

Au contraire, c'est parce qu'il y a un isomorphisme que l'on peut dire que les structures sont "identiques".

Mais, un ensemble totalement ordonné et un autre partiellement ordonnés ont la même structure?

Ben non, puisqu'il n'y a pas d'isomorphisme entre les deux, c'est ce que je dis depuis le message #1 : "Morphisme = Conserve la structure" est une expression qui n'a pas de sens.

[toothpick-charlie]

Soyons simple, et quand on sait de quoi on parle, c'est une évidence : un morphisme bijectif est toujours un isomorphisme s'il n'y a pas de symbole de relation dans le langage.

je ne connais pas cette notion de langage, mais pour moi une loi de composition interne n'est rien d'autre qu'une relation. Il ne devrait donc pas y avoir de différence fondamentale entre morphismes de lci et morphismes de relations.

[Médiat]

je ne connais pas cette notion de langage, mais pour moi une loi de composition interne n'est rien d'autre qu'une relation. Il ne devrait donc pas y avoir de différence fondamentale entre morphismes de lci et morphismes de relations.

Bonjour,

Une LCI est une fonction, c'est donc une relation particulière, mais justement c'est cette particularité qui fait que la définition est différente, cf. ci-dessous (on pourrait aussi dire que les constantes sont des relations d'arité 0).

Je reconnais que c'est une habitude (et donc rien de plus) que de découper le langage en constantes, fonctions et relations, et peut-être les choses seraient plus claires, mais plus lourdes si on écrivait systématiquement "relations d'arité >0 qui ne sont pas des fonctions.

A toutes fins utiles je rappelle la définition de morphisme :

Soit un langage , où les sont des symboles de constantes, les des symboles de fonctions d'arité , et des symboles de relations d'arité .

Je noterai la structure en exposant pour indiquer l'interprétation d'un élément du langage dans cette structure :

sont donc les éléments de , et qui interprètent les éléments de

sont donc les éléments de , et qui interprètent les éléments de

Soit une application de dans , est un morphisme de dans si et seulement si :

Pour tout (l'image d'une constante de la structure est la constante correspondante (c'est à dire interprétant le même symbole de constante du langage) de la structure ).

Pour tout (que l'on applique "le calcul d'une fonction dans puis le morphisme", ou "le calcul du morphisme, puis la fonction correspondante dans ", le résultat est le même).

Pour tout (si des éléments de sont liés pour une relation alors leurs images dans sont liés pour la relation correspondante dans ).

A noter que :

1. Pour les relations il y a une implication et non une équivalence (dans le cas d'un morphisme bijectif, si la relation est une fonction, l'implication est, de fait, une équivalence)
2. J'ai bien écrit "Pour tout ", et non , puisque n'est pas un élément du langage
3. Aucun axiome sur les structures n'est nécessaire

[Mocassins]

Comme il s'agit alors d'un isomorphisme, comme je l'ai écrit dans mon message précédent, cela me gêne moins (mais "moins" seulement à cause du dernier paragraphe du message #5), et "conserve la structure", dans le cas d'un isomorphisme me gêne moins que "conserve la structure de groupe" (par exemple).

Je voulais dire un morphisme injectif ou surjectif.

On n'a pas besoin de montrer que l'image d'un isomorphisme est un groupe pour introduire cet isomorphisme, mais qu'est-ce qui empêche de dire que la structure qui est conservée est une structure de groupe, et donc de parler de conservation de la structure de groupe?

Quand il faut parler de morphismes, même hors de la théorie des catégories, la convention la plus adaptée en ce qui concerne la définition des applications est celle où une application est un triplet (domaine, graphe, ensemble contenant l'image), qui permet notamment de parler de morphisme surjectif.
Selon cette convention, ne sera pas un morphisme de groupes car n'en est pas un, mais en sera un, et il n'y a pas de souci d'intrusion du terme "groupe" là où il devrait être absent.

[Médiat]

Je voulais dire un morphisme injectif ou surjectif.

Je n'avais effectivement pas compris, néanmoins j'ai donné un exemple de morphisme bijectif, pour lequel l'expression "conserve la structure" me gêne énormément.

On n'a pas besoin de montrer que l'image d'un isomorphisme est un groupe pour introduire cet isomorphisme, mais qu'est-ce qui empêche de dire que la structure qui est conservée est une structure de groupe, et donc de parler de conservation de la structure de groupe?

Pourquoi ne pas dire morphisme de groupe abélien, de groupe simple, etc. Ce qui me gêne c'est de faire appel à certains axiomes et pas tous, dans un cadre ou, de toute façon, on n'a besoin d'aucun axiome.

Quand il faut parler de morphismes, même hors de la théorie des catégories, la convention la plus adaptée en ce qui concerne la définition des applications est celle où une application est un triplet (domaine, graphe, ensemble contenant l'image), qui permet notamment de parler de morphisme surjectif.
Selon cette convention, ne sera pas un morphisme de groupes car n'en est pas un, mais en sera un, et il n'y a pas de souci d'intrusion du terme "groupe" là où il devrait être absent.

Vous pointez donc le problème que pose l'expression "morphisme de groupe", qui ne vous dérange pas dans le cas de "morphisme surjectif de groupes".

Encore une fois, ce qui me dérange c'est l'irruption d'axiomes (lesquels, d'ailleurs ?) là où il ne sont d'aucune utilité :

Il va de soi que si est un groupe, si est une structure réalisant une LCI, et si est un morphisme de dans , alors est un groupe, mais si est un groupe non abélien, alors n'est pas forcément un groupe non abélien ; même chose avec la structure "ordre partiel" puisque son image par un morphisme peut très bien être un"ordre total"

[azizovsky]

Il va de soi que si est un groupe, si est une structure réalisant une LCI, et si est un morphisme de dans , alors est un groupe, mais si est un groupe non abélien, alors n'est pas forcément un groupe non abélien "

Salut ,Abélianisation. Le quotient G/[G,G] d’un groupe G par son sous-groupe
des commutateurs [G,G] (le plus petit sous-groupe de G contenant tous
les éléments de la forme xyx−1y−1, (x, y) appartiennent G²), est un groupe abélien.
l’abélianisation  : Gp --> Ab est un foncteur.

[Mocassins]

Encore une fois, ce qui me dérange c'est l'irruption d'axiomes (lesquels, d'ailleurs ?) là où il ne sont d'aucune utilité :

Il va de soi que si est un groupe, si est une structure réalisant une LCI, et si est un morphisme de dans , alors est un groupe, mais si est un groupe non abélien, alors n'est pas forcément un groupe non abélien ; même chose avec la structure "ordre partiel" puisque son image par un morphisme peut très bien être un"ordre total"

Oui, votre point de vue se tient. Mes remarques sur les morphismes injectifs et surjectifs ont pour simple but de noter que dans certains cas, il existe des propriétés communes aux deux groupes. Le fait que certaines propriétés comme la totalité de l'ordre ne soient pas transférées, même par un morphisme bijectif, n'annule pas le fait que d'autres le sont.
Enfin je pense qu'on s'est compris!