Suites et matrices

[emmy1977]

Bonjour,
Voilà j'ai un problème avec ce DM (en pièce jointe)
Alors j'ai fait les questions 1 et 2 mais je n'arrive pas à la 3. (In=matrice identité)
J'arrive à un résultat très bizarre, j'obtiens : P(A) = 6*In - 6 je voulais dire que c'était égal à 0 mais il me semble que 6*In ne peut pas faire 6 non ? Donc je ne vois pas comment trouver 0 avec ce calcul. Si vous avez besoin des détails des calculs je pourrais les rajouter. Voilà j'aimerais juste savoir si 6*In=6
J'ai vraiment besoin d'aide, svp. Merci d'avance.
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[God's Breath]

J'arrive à un résultat très bizarre, j'obtiens : P(A) = 6*In - 6

Sans même voir l'énoncé puisque la pièce jointe n'est pas encore validée, il est certain que ce résultat est faux : on ne peut pas soustraire le nombre 6 à la matrice .

[emmy1977]

Donc un calcul comme 6*In - 6 ne peut pas être résolu ?

[God's Breath]

Je ne sais pas ce que veut dire "résoudre un calcul ; ce sont les équations que l'on résout. Les calculs sont à effectuer.

L'écriture n'a aucun sens, pas plus de sens, par exemple, que : soustraire une matrice et un nombre est tout aussi impossible que soustraire un vecteur et un nombre.

L'erreur n'est pas dans le résultat obtenu, mais dans le calcul qui précède où les règles de calcul sur les matrices n'ont pas été respectées.

[A voir en vidéo sur Futura]

[emmy1977]

Ah oui d'accord je vois, on ne peut multiplier In que par des matrices. Mais je ne vois pas mon erreur. En attendant que la pièce jointe soit validée je vais décrire un peu mes
calculs. On nous donne dans l'énoncé une matrice .
Une des questions est de calculer P()= det (A-*I) et j'ai trouvé -³+4²--6 mon erreur est peut être là ?

[God's Breath]

Non le polynôme caractéristique est exact, c'est l'évaluation du polynôme en A qui pose problème.
La gestion du terme constant est incorrecte.
Il faut revenir à la définition d'un polynôme comme combinaison linéaire des puissances de l'indéterminée.

[emmy1977]

D'accord donc je dois écrire -3³+4²--6⁰
ce qui reviendra à -3A³+4A²-A¹-6A⁰ et donc là je pourrais remplacer A⁰ par la matrice identité et j'aurais bien 0 pour mon résultat de P(A) ?

[God's Breath]

Oui. Écrire 6 au lieu de n'est pas gênant dans un polynôme «ordinaire», mais avec les matrices il faut être très attentif à rétablir des écritures correctes.

[emmy1977]

Ah oui merci beaucoup pour cette aide =) C'est vrai qu'avec les matrices les règles de calculs sont plus strictes, j'ai tendance à l'oublier.
Je continuerai mon DM demain, si j'ai d'autres questions je repasserai ici

[emmy1977]

Rebonjour,
Je reviens parce que je bloque au niveau de la question 5 (j'espère que ma pièce jointe a été validée). J'ai montrer que Aⁿ=Rn(A) mais c'est pour démontrer les 2 égalités suivantes que j'ai des problèmes. J'ai beau tourner dans tous les sens mes résultats antérieurs je ne trouve rien, est ce que quelqu'un pourrait me donner un indice svp ? Merci d'avance

[God's Breath]

On reprend la question 1 : .
Avec le début de la question 5 :

[emmy1977]

Ok j'avais essayé d'utiliser ces données mais je n'y arrive pas.
J'arrive à Rn(A)X=AⁿX mais comme ensuite démontrer que c'est égal à nX₀+nX₁+nX₂
Si je remplace par A dans l'expression de R_n() j'aurais des A en trop

[God's Breath]

Tout est immédiat.

L'énoncé note le reste de la division euclidienne : .

On évalue en : .

On multiplie par : .

Avec la question 1 : .

[gg0]

inutile !

Cordialement.

[emmy1977]

Ah mais oui d'accord merci beaucoup.

Et pourquoi c'est inutile ggo ?

[gg0]

C'est mon message qui est inutile après l'explication complète de God's Breath.

Désolé de t'avoir perturbée.

[emmy1977]

Ahah d'accord c'est pas grave ˆˆ

Pour la 2ème égalité où on doit trouver l'expression de un je vois ce que je dois utiliser mais je n'arrive pas à mettre en forme.
J'ai dit que n*x+n*y+n*z = n*uo+n*u1+n*u2
Je pense qu'il faut utiliser la matrie X_n mais je ne sais pas si on peut l'intégrer quelque part

[God's Breath]

Il suffit de calculer effectivement pour récupérer qui est un des éléments de la matrice.

[emmy1977]

Calculer la matrice X_n?

[God's Breath]

On a trois fois de suite la même question :
1. Calculer en fonction de , et .
2. Calculer en fonction de , et .
3. Calculer en fonction de , et .

Il suffit à chaque fois de remplacer dans le calcul précédent, et de lire les réponses qui sont toutes données par l'énoncé.

[emmy1977]

Donc ça suffit de dire que comme X_n=nX₀+nX₁+nX₂ on remplace X par u et donc après en remplaçant par u0,u1 et u2 c'est bon on a l'égalité ? C'était juste ça alors ˆˆ
Et pour le nx+ny+nz = (x y z ). (n n n) (la matrice est verticale normalement) il n'y a rien à démontrer non plus non ? ça en découle. Je ne vois pas qu'est ce qu'on doit montrer tout est écrit.

[God's Breath]

On ne remplace pas X par u, on écrit les calculs en explicitant les matrices X_n avec leurs trois éléments, pour détailler ce qui se passe "à l'intérieur" de la matrice.

[emmy1977]

Je ne vois pas que faire qund j'ai explicité les matrices X₀, X₁ et X₂ désolé de déranger mais là je comprends vraiment pas. Je sais pas il y a un truc qui bloque.

[emmy1977]

Je vois ce qu'il se passe, on ne garde que les premiers termes (qui correspondent au un) des matrices X0,X1 et X2 j'explique donc ça et c'est bon alors ?

[God's Breath]

Oui, on fait des gros calculs avec des matrices colonnes pour ne conserver que le premier élément de la matrice.

[emmy1977]

Ok et ensuite je peux dire directement que un = (x,y,z).(n, n, n) (matrice colonne) ?

[God's Breath]

Oui, c'est la définition du produit des matrices

[emmy1977]

Ok mais d'habitude un produit de matrice donne une autre matrice mais ici non c'est une application linéaire alors ? Sinon merci beaucoup encore pour l'aide.

[God's Breath]

Ici le produit de matrice donne une matrice à une ligne et une colonne, c'est-à-dire un nombre.