Équation polynomiale quartique

[invite3034bd4f]

Salut à tous,

Je suis nouveau sur ce forum mais espère bien y faire de vieux os

Voila mon problème.

Je donne actuellement des cours de soutien à un élève de 11ème année (système canadien => équivalent à la Première en Fr). Je suis entrain de lui expliquer les polynomes et on en est au quartique. Il comprends bien, pas de pb. Seulement la méthode qu'on leur fait employer pour résoudre une équation polynomiale est assez longue et il manque souvent de temps pour finir ses exam. Voici la méthode enseignée à l'école en question.

Prenons l'équation suivante:

f(x)= 3x³ - 4x² -5x +2

Pour la résoudre, on part du principe que (ax-b) est un facteur de f(x); b est un facteur du terme constant (ici = 2) et a le coefficient de x³.

On leur demande alors de trouver l'ensemble des facteurs de a et de b (cf la méthode d'inspection pour résoudre une quadratique) et on utilise ensuite le théoreme du carré qui devient alors:

f(b/a) = 0 si a/b est une racine de l'équation.

C'est vrai, pas de problème, mais ca prend enormement de temps à passer à travers toutes les solutions, particulièrement si a et b on de grosses valeurs!

Je me demandais donc si l'un d'entre vous avait des trucs ou astuces (voir théorèmes) pour lui permettre de gagner du temsp et ne pas avoir à se fader l'ensemble des combinaisons!

J'avoue que ca fait longtemps que je n'ai pas joué avec tout ca et en plus les termes ne correpsondent pas tjrs entre le système fran`cais et canadien!

Bref, si vous avez des solutions, ca serait apprécié!

Aguirre
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[invite6b1e2c2e]

Salut,

Je crois qu'il y a les formules de Cardan, Ferrari &Co qui permettent de résoudre assez vite des polynômes de degré 3 et 4. Il y a eu un topic sur ça y a pas lontemps.

Sinon, on sait que, pour un polynôme de degré 3, il y a forcément une solution réelle (et pas toujours rationnelle !), et les deux autres solutions sont complexes conjuguées, ou bien elles aussi réélles.
Ici, la méthode proposée semble être basée sur le fait, que si un rationnel a/b est racine d'un polynôme à coefficient entiers, avec a et b premiers entre eux, alors forcément a / le terme constant, et b divise le coefficient dominant. Mais il est clair que cette méthode ne suffit pas !

D'ailleurs, ici, ça ne fait quand même pas beaucoup de cas !!!

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rvz

[invitedef78796]

Salut,

En théorie, il n'y a pas je crois de méthode vraiment simple pour factoriser un polynôme réel de degré trois car même si un tel polynôme possède toujours une racine réelle, elle n'est pas forcément facile à calculer (cf méthode de Cardan avec des racines cubiques partout).

En France en 1ère on apprend que a est racine de P(x) ssi x-a divise P(x). En pratique cela revient à trouver en cherchant un peu une racine évidente (dans ton cas -1ou +2 par exemle, je crois) puis à faire la division euclidienne de P(x) par x-a.

En espérant t'avoir aidé...

Ps : je ne connais pas trop ta méthode, ça a un rapport avec les quadriques ?

[invite3034bd4f]

Bonjour à tous,

Tout d'abord, merci de vos réponses si rapides!

IceDL: les étudiants ont vu différentes méthodes pour réussir à résoudre des équations quadratiques (style factorisation synthétique, par décomposition, inspection, blabla). Ils ont terminé la première section et sont passés aux équations quadratiques (ou plus largement aux polynomes complexes) et la méthode qu'on leur apprend est directement inspiré de ce qu'ils ont fait avec les quadratiques dans le sens ou tu prends le terme de degré le plus haut et le réel et tu essayes de trouver une combinaison qui satisfasse aux 2.

Plus clairement, soit f(x)

f(x)= ax² + bx + c
que tu veux mettre sous la forme
f(x)= (ax' + b'x)(c'x + d')
Alors tu auras un diviseur selon les critères suivants:
il faut trouver un couple de nombre qui réponde aux énoncés suivants:
b' + d' = b
b' x d' = ac

Qd tu trouves ton b' et d', tu trouves par la même occasion ta factorisation. notons qu'a ce stade, a est égale à 1.

Bref, si a diff de 1, alors on fait de l'inspection ou de la décomposition. Dans un cas où l'autre, c'est le même principe que ce qui est au dessus.

Et finalement on arrive aux polynomes complexes et on reprend le meme principe sauf que l'a tu utilises le theoreme des restes et tu prends des combinaisons de a/b comme dans la méthode d'inspection pour les quadratiques "complexes".

Bref, je vais essayer de voir vos conseils mais j'ai regardé Cardan et autres: c'est pas gagné pour un truc censé ressembler plus à une astuce pour aider l'étudiant mais qui parait encore plus compliqué à expliquer

Merci encore.

Aguirre

[A voir en vidéo sur Futura]

[martini_bird]

Salut,

un outil appréciable pour deviner les racines d'un polynôme est la calculatrice graphique!

Sinon, il y a un théorème qui dit que les racines de polynômes du troisième degré en 1ère sont entières et voisines de 0...

Cordialement.

[invite6b1e2c2e]

Sinon, il y a un théorème qui dit que les racines de polynômes du troisième degré en 1ère sont entières et voisines de 0...

lol.
A breveter absolument !

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rvz

[invite3034bd4f]

Il semble qu'il n'y ait pas en effet de solution facile idéale (remarque, si c'était le cas, ca se saurait )

Je cherchais une alternative aux théorème de cardan ou autre, qui meme s'ils facilitent la résolution de telles équations, restent quand même à un niveau de Math assez conséquent. Si je dois expliquer à mon étudiant cette théorie, je ne pense pas qu'il va me trouver drole car l'objectif premier était surtout de trouver une astuce...

Merci quand même pour toutes ces infos!

Aguirre