Normes matricielles 1, 2et infinies

[fred21000]

Bonsoir,
Je bloque complètement sur cet exercice:
On considère les normes de R^n suivantes: ||x||1:=somme sur i des |xi| , ||x||infini:= max sur i des |xi| , ||x|| 2 = racine carrée ( somme sur i des |xi|^2)
Pour tout A dans Mn(R) , montrer les inégalités suivantes:
1) (1/sqrt n).||A||infini < ||A||2<sqrt (n). ||A||infini
2) (1/n) ||A||infini <||A||1< n.||A||infini
3) meme chose que la 1) sauf qu'à la place des 2 normes infinies mettre la norme 2, et à la place de la norme 2 mettre la norme 1.

J'ai eu beau remplacer la norme infinie par sup||Ax||infini avec ||x|| =1 etc... je reste bloqué..
Merci de vos lumières !




malgré que ça me paraisse pas si dur que ça...
Si quelqu'un peut m'éclaircir merci !
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[God's Breath]

Bonjour,

Si pour deux normes sur , on dispose des inégalités :



On en déduit, pour toute matrice :



et d'autre part les normes matricielles fournissent les majorations :



et en s'y prenant bien :



dont on déduit : .

[fred21000]

Bonsoir
Merci de répondre !
Donc ici les indices a et b correspondent à norme en dimension 1, 2 et l'infini ?
Cordialement.

[God's Breath]

Je reprends ma rédaction avec un code LaTeX correct :

Si pour deux normes sur , notées et (les indices correspondant à ce dont on a besoin...), on dispose, pour tout vecteur , des inégalités :



On en déduit, pour toute matrice :



D'autre part, les normes matricielles fournissent les majorations :



dont on déduit, en s'y prenant bien :



et finalement : .

[A voir en vidéo sur Futura]

[fred21000]

Merci c'est génial de ta part !
Par contre si on veut chercher une matrice B carrée d'ordre 2 non symétrique avec la condition que la norme matricielle de B en dimension 2 soit inférieure à la norme de B en dimension infinie il que je me serve du raisonnement des inégalités ou que je fasse au hasard puis j essaye ?
Bien à vous.

[Verdurin]

Si tu cherches une matrice B telle que

tu vas chercher longtemps.

[fred21000]

Bonsoir, désolé je tombe de haut parce que c'est dans l'énoncé à moins que ça soit une question piège...