lim f'+f=0 implique lim f = 0

[pppoooiii]

Bonjour,

On travaille avec f une fonction définie sur dérivable et de dérivée continue sur , le but étant de montrer que lim f'+f=0 implique lim f = 0
Je n'arrive plus à résoudre ce problème pourtant simple dans mes souvenirs..

Merci de votre aide
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[God's Breath]

Bonjour,

On considère une fonction définie et continue sur .

On résout l'équation différentielle , on en déduit l'expression de en fonction de , ce qui permet de conclure.

[Seirios]

Bonsoir,

Je trouve plus naturel de voir les choses comme ceci :

On se donne un . Pour assez grand, on a . Sur cet intervalle, on remarque facilement que le graphe de ne peut pas traverser les droites d'équations et , puisque si , nécessairement et donc ne peut pas monter plus haut, et si , nécessairement et ne peut pas descendre plus bas.

Bien sûr, cela nécessite d'être rédigé proprement (par exemple, l'hypothèse de continuité sur n'est pas explicitement utilisée ici), mais c'est un bon point de départ.