Distributions. Formule des sauts dans l'espace

[klark]

Bonjour,

J'ai besoin de chercher les dérivées partielle d'une fonction discontinue dans l'espace . Cette fonction est définie par :



En utilisant la formule des sauts :

en appliquant la formule j'ai obtenue des termes en dxdy ou dxdz ou dydz que je pense n'est pas correcte.
Donc est ce que la formule que j'utilise est fausse??? A l'aide... s'il vous plait...
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[azizovsky]

Salut , ou bien avec fonction de discontinuité sur la surface ?

[azizovsky]

Salut , dans la formule que tu'as donné où il est passé la dérivé de la fonction de Heaviside ?

[klark]

Merci azizovsky pour ta réponse. Honnêtement je sais pas. J'ai trouvé cette formule dans des cours sur internet. Bon on peut multiplier la fonction par une fonction porte pour la limité selon la direction x.
Est ce que tu peux m'expliquer plus les termes dans la formule que tu propose? Est ce que tu peux me proposer une référence??

[A voir en vidéo sur Futura]

[klark]

Donc on multiplie par deux fonctions porte . La surface est donnée par

[azizovsky]

Bonsoir ,avec cette formule ,on peut démontrer la formule de Grenn-Ostrogradski on posant la fonction-test =1 ,je n'est pas le temps pour chercher le lien qu'il faut , j'essayerai demain ,mais j'ai trouvé ceci :http://www.math.polytechnique.fr/~go...10/POLY431.pdf

[klark]

Merci encore azizovsky.
Dans la formule que tu propose je pense que tu as ajouté un ???
J'ai trouvé un livre (http://books.google.fr/books?id=Tb3c...espace&f=false) qui propose une formule analogue à celle que j'ai proposé. Cependant je trouve que c'est pas logique d'avoir en facteur un élément de surface dS.

[azizovsky]

Salut , il faut lire ce qu'est dit avant cette formule , est une mésure.....

[klark]

Bonsoir,
J'ai rien compris à propos de cette mesure de surface. Elle est définie par . Comment la déterminer?? Je vois pas comment... Même les exemples données sont très bref. Ils n'expliquent quasiment rien...

[Tryss]

Sinon tu reviens à la définition :



Ensuite on note D le domaine ou la fonction n'est pas nulle



Sur ce morceau, la fonction est régulière, et on applique le théorème de Green (enfin, un théorème de cette famille) :



On remarque donc que la derivée de la fonction au sens des distributions est égale à la dérivée au sens classique plus une certaine distribution qui découle de la discontinuité

[klark]

Merci Tryss. Je comprends la démonstration. Cependant je vois pas comment utiliser cette formule en pratique. En fait mon souci est de déterminer le .

[Suite2]

cf le topic "surface NON continue, distribution", le calcul de la mesure [TEX]\sigma[\TEX], n'est à priori pas du tout évident, mais se calcul d'une manière générale, est très souvent la mesure de Hausdorff à quelques constantes près.

Je conseil le livre de William P. Ziemer (weakly différentiable function and weak...), et celui de Evans et Gariepy (measure theory and fine "proprieties"...): chercher Formule de Gauss-Green

[klark]

Merci Suite2. En fait j'ai un problème analogue à celui abordé dans le topic "surface NON continue, distribution". Ma fonction est continue partout. La discontinuité apparait quand elle franchie la surface d'un volume formé par la juxtaposition de deux volumes triangulaires (la fonction est nulle dans ce domaine de l'espace).
Cependant dans la formule des sauts proposée :
<=> ( : la normale à la surface )
je ne trouve pas la dérivé de la fonction au sens habituel ??? C'est quoi ?? c'est un dirac??? Désolé je suis nouveau dans la théorie des distributions...

[Suite2]

On note assez souvent , ou bien pour désigner l'application caractéristique d'un ensemble. C'est l'application qui vaut 1 sur l'ensemble et 0 partout ailleurs.

Ainsi lorsque tu calcules une intégrale du type
,
il s'agit de la distribution contre lafonction test ^^

Edit :
J'oubliais d'ajouter un complément... dans l'autre topic on cherchait une seconde dérivée. Tandis que dans ton problème il s'agit de la première dérivée. Je me penche plus précisément sur ton problème et je poste une solution possible en terme de mesure de surface

[Suite2]

Si tu débutes, je ne peux que te conseiller des livres "simples", pour commencer tranquillement! En premier lieu, le cours très abordable de Thierry Ramond (il me semble que le chapitre 3 traite des mesures de surface du point de vue géométrie différentielle et il y est fait un lien avec les distributions). le cours de F. Golse chapitre 6 donne aussi ce lien mais pour des polytechniciens (le document est d'un niveau un peu supérieur). Je vais donc calculer ici la dérivée (au sens distribution) par rapport à $x$ de l'application $f$.

La formule des sauts, et de la divergence que j'ai conseillée d'utiliser ne s'applique pas du tout car le domaine où la fonction n'est pas nulle n'est pas à périmètre fini. Pas de soucis, on revient lentement à la définition de la dérivation... Soit une application indéfiniement dérivable à support compact.

.

Pour simplifier, on notera $k = (k_1, k_2, k_3)$, ainsi . Par définition de $f$ "l'information est répartie en deux temps". Le théorème de Fubini s'applique et l'on a

. La formule d'intégration apr parties donne dans ce cas

.

On sépare alors en deux intégrales, et l'on obtient d'un côté la dérivée usuelle


et la première intégrale devient



On trouve alors la formule

,

où est la mesure de surface de , avec .


A toi de faire les dérivées partielles par rapport à la seconde puis la 3_ème variable

[Tryss]

Suite2, le fait que la fonction test soit a support compact permet bien d'utiliser Green-Gauss non?

[klark]

Merci beaucoup suite 2

[klark]

J'ai encore deux questions:
- la mesure de surface ici veut bien dire la surface (une quantité en m^2 (longueur x largeur dans le cas d'une surface rectangulaire))????? J'avoue là que j'arrive pas à comprendre ce truc. L’équation fournie pour la déterminer n'est pas compréhensible.
- si la surface est de classe par morceau. Comment procéder??

[Suite2]

Suite2, le fait que la fonction test soit a support compact permet bien d'utiliser Green-Gauss non?

En effet, en utilisant par exemple le fait que l'application est à support compact, on peut par exemple supposer que ce support est une boule. On peut alors appliquer le théorème de Stokes, (ou Guass-Green). Il faut bien comprendre ce que ce résultat vous donne ! Soit $f$ une application C^1 sur . On prolonge cette application à 0 en dehors de son domaine de définition. On appelle cette nouvelle application. Que donne la formule de Stokes ? Dans un pre!mier temps, on a



Il faut alors comprendre, : ce n'est pas du tout trivial ! En effet écrire cette intersection pour une boule et un carré centré en 0... Il n'y a à priori aucune raison pour que l'intersection soit ne serait-ce que régulière. On ne peut donc ^pas appliquer directement la formue de Stokes...

[Suite2]

J'ai encore deux questions:
- la mesure de surface ici veut bien dire la surface (une quantité en m^2 (longueur x largeur dans le cas d'une surface rectangulaire))????? J'avoue là que j'arrive pas à comprendre ce truc. L’équation fournie pour la déterminer n'est pas compréhensible.
- si la surface est de classe par morceau. Comment procéder??

Comme je te l'ai proposé, il faut lire des documents de base pour savoir ce qu'est une surface (géométrie différentielle), et comment on définit une mesure de surface (cf références précédentes). Une fois que tu as bien compris cette notion, fais le lien avec les distributions, et remarque (à l'aide d'un calcul très technioque) que la mesure de surface (géo diff, vu en theorème de fonctionnel linéaire par le théorème de Riesz) coïncide avec la distribution .

Comment procéder pour déterminer ce dans la formule de Stokes ? C'est une très bonne question, très compliquée quand on y connait rien... Dans le cas où tu ajoutes l'hypothèse que est un ensemble à périmètre fini (au sens fonction à variation bornée), tu peux utiliser la formule de Gauss-Green, et montrer que

,
pour tout borélien A.

[klark]

Bonjour,

J'ai commencé à calculer . J'obtiens un résultat de la forme
. Serait_il possible de m'aider à déterminer ??
J'ai réussit à démonter que . Cependant, j'arrive pas à calculer . Serait-il possible de m'aider même par un exemple??
Merci par avance.

[acx01b]

salut,

juste pour dire que dans
est bien une distribution :

ne vaut jamais l'infini si est une fonction test, et c'est bien une forme linéaire continue

pareil et sont aussi des distributions

[klark]

Je m'excuse j'étais pas très clair. Dans mon cas l'intégrale est de la forme :
avec la surface est définie par une fonction .

[acx01b]

je ne comprends pas bien le fond de tout ce que vous écrivez, vous êtes passé à complètement autre chose que la question de départ ? parce que sinon :

je réécris

où

donc :







pour vérifier que c'est juste, il n'y a qu'à intégrer par rapport à x et vérifier que ça donne bien à une constante près

[klark]

Je suis sincèrement désolé. J'ai pas bien définie les choses dès le départ. En fait ma fonction est définie dans tout l'espace sauf dans un volume de forme un peu compliqué (voir pièce jointe). C'est pour cela je cherche à calculer la distribution de simple couche

[acx01b]

et alors, si f est définie sur un ensemble convexe (j'espère que c'est le cas sinon c'est vraiment tordu) ça ne change rien ?

[klark]

Je pense qu'il y a une partie non convexe. Mais est ce que cette condition est nécessaire pour la formule des sauts :??

[acx01b]

c'est l'union de deux convexes : , donc tu écris que f c'est la somme de deux fonctions simples :

qui sont chacune faciles à dériver

c'est la fonction indicatrice de l'ensemble

l'intérêt de diviser l'ensemble en union de convexes c'est qu'il n'y a plus de questions à se poser

mais bon là dans ton cas ça serait pareil si

[klark]

D'accord. Donc si j'ai bien compris le ici sera un produit de fonction heaviside de façon à ce que je définie le volume convexe???
Sinon en utilisant la distribution de simple couche????

[klark]

. J'ai posé une question bête
Le seul soucis maintenant est de définir et ... Est ce que c'est possible de le définir par un produit de fonctions Heaviside??? L'argument de chacune est l’équation d'un plan du convexe???