Surface NON régulière, laplacien d'une fonction discontinue

[freemp]

Salut à tous.

Je chercherai un théorème permettant de déterminer ce que vaut le laplacien au sens des distributions d'une fonction discontinue sur une surface non régulière.

En gros que vaut ce Laplacien à l'endroit de discontinuité (sachant que la normale à la surface n'est pas continue).

Merci d'avance.
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[Tryss]

Quelle tête a ta discontinuité? Parce que là comme ça je ne suis pas sur qu'un théorème existe pour identifier la distribution correspondante (quand c'est régulier on utilise le théorème de Green)

Si c'est juste discontinu par morceaux, il n'y a me semble t'il aucun problème, c'est la même formule. Par contre si c'est une surface type fractale, c'est plus génant

[freemp]

C'est discontinu par morceaux en effet.

Es tu sur que c'est bien la même formule ?
Car du coup j'ai deux normales différentes dans mon problème à l'endroit de discontinuité.

Merci !

[freemp]

En gros ma surface est composée de triangles qui peuvent être inclinés les un par rapport aux autres. La normale est donc continue (et constante) sur chaque triangle, c'est à l'intersection entre deux triangles qu'elle va varier brutalement dans le cas où les deux triangles ne sont pas coplanaires.

[A voir en vidéo sur Futura]

[Suite2]

Il y a en effet un léger changement sur ce type de surface qui est dû à la formule de la divergence. Dans ton cas tes deux triangles forment une surface à périmètre finis (au sens des fonctions à variation bornée), ainsi la mesure de surface est légèrement modifiée : c'est la mesure de Huasdorff (n-1)-dimensionnelle restreinte au "bord essentiel" (cf fonctions à variation bornée) de ton domaine

[freemp]

Salut.

Merci de ta réponse.

Je t'avoue que je suis novice dans le domaine, j'ai appris récemment les distributions et je n'ai donc que très peu d'expérience dedans.

Ce que tu me dis en gros c'est que dans le calcul de la divergence utilisé je devrai prendre comme mesure pour intégrer celle dont tu me parles au lieu de la mesure utilisée par défaut dans la démonstration quand on intègre ?

(Je n'ai pas encore regardé la démonstration de la formule dont je parle, donc je dis peut être une betise, mais je suppose qu'il y a une intégration à un moment donné vu que tu me parles de mesure)

Merci.

[Suite2]

C'est la principale difficulté de la mesure de surface... Bien qu'on sous-entend une sorte d'unicité, il y a pleins de façon de constuire une mesure qui coïncide avec les propriétés naturelle que devrait avoir une mesure à support dans un ensemble borné. Connais-tu le liens entre fonctionnelles linéaires continues et mesure de Radon (théorème de Riesz pour les formes linéraires sur l'espace des fonctions continu à support compact)? (C'est essentiel dans la compréhension de la mesure de surface en terme de distribution.)

Le plus souvent on introduit cela en géométrie différentielle pour des surfaces de classe C^1. Ensuite une analyse des distributions donne le résultat suivant
,

où
et , pour de classe au moins C^1.

Le formalisme des distributions est intéressant dans ton problème car seul l'essence du problème est conservée, et on oublie toutes les conditions de régularité. Ici tu cherches à calculer le laplacien d'une application à priori simplement continue (la régularité est tout de même un minimum important pour des raisons de dualité). Disons que cette application soit , définie sur un ensemble ouvert . Quitte à prolonger en l'application nulle en, dehors de , on peut sopposer que est définie sur , à support dans .

Revenons à loa défintiion de la distribution . Soit , une application infiniement dérivable à support compact. On a


L'idée est alors d'appliquer la formule de la divergence pour faire apparaître une intégrale sans les dérivées de . Dans ce cas on aura une égalité du type
au sens des distributions. La fonction , ici, est continue sur , tu peux alors appliquer le théorème de Gauss-Green pour les fonctions à variation bornée, et tu trouves
,
avec les notations "usuelles" (au sens variation borné : frontière essentielle, mesure de Hausdorff renormalisée, normale extérieure essentielle)

Ainsi, on trouve la formulation suivante :



ai-je répondu à la question ?

[Suite2]

,
avec les notations "usuelles" (au sens variation borné : frontière essentielle, mesure de Hausdorff renormalisée, normale extérieure essentielle)

Ainsi, on trouve la formulation suivante :



ai-je répondu à la question ?

J'ai l'habitude de travailler sur les ensembles à périmètre fini. J'ai oublié l'application $f$. Les deux formules ne sont plus les même, mais deviennent

,
avec les notations "usuelles" (au sens variation borné : frontière essentielle, mesure de Hausdorff renormalisée, normale extérieure essentielle)

Ainsi, on trouve la formulation suivante :



Il s'agit de la formule des sauts si l'on veut...