Forme quadratique/ changement de base

[sese13]

Bonjour,
Soit la forme quadratique q(v)= x²+y²+z²+2xz ou v est le vecteur de coordonnée v(x,y,z)
Indiquer une méthode pour trouver une baseB telle que si v a pour coordonnee (X,Y,Z) dans la base B, q(v) soit de la forme aX²+ bY²+cZ²
J'ai trouve la matrice de cette forme quadratique
A= 101 010 101 Sp(A)= ( 0,1,2) P=10-1 010 101
A l'aide de ces resultats que l'on nous demande d'etablir dans les questions precedentes, je ne comprends pas comment trouver la nouvelle forme de q.
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[Paraboloide_Hyperbolique]

Bonsoir,

A toute forme quadratique est associée une matrice symétrique telle que . Une fois que vous avez la bonne matrice (ce que vous avez), il faut la diagonaliser: , avec diagonale et orthonormale (de préférence, mais pas obligatoire).

La forme quadratique équivalente dans la base B (donnée par les vecteurs colonnes de la matrice P) est alors associée à la matrice D et ne contient pas de termes croisés. Par définition, la forme quadratique que vous cherchez est alors: (facile à calculer puisque D est diagonale).

[sese13]

Bonsoir,
Dans la derniere expression, q'(x)=xDx, les deux vecteurs x sont repérés dans des bases differentes?

[Paraboloide_Hyperbolique]

Non, ils sont tous les deux exprimés dans la base B pour q'(x) et dans la base de départ considérée (souvent la base canonique) pour q(x).

Pour fixer les notations et éviter les ambiguïtés, si est exprimé dans la base de départ et est exprimé dans la base B; avec le changement de base donné par , alors:



Et l'on voit que q(x) et q'(x) sont deux expressions de la même forme quadratique dans deux bases différentes.

[A voir en vidéo sur Futura]