Fonctions à plusieurs variables

[punck15]

Bonjour,

Je suis bloqué à la question de mon exercice qui est le suivant :

Question 6. Soit la fonction f(x; y) = x² + y² - 6x + 2y + 14.
a) Identiez la surface f(x; y). Justiez.
b) Determinez les coordonnees du point (x0; y0) tel que f(x0; y0) est le minimum
absolu. Justiez.

J'ai réussi à trouver la question a) mais pour la question b) , je ne sais pas si je dois égaliser la dérivée en x ou en y à zéro.

Pourriez-vous m'aider ?

Merci
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[topmath]

Bonsoir :

Pour calculer un extremum, il faudrait que les dérivées partielles par rapport à x et y s'annulent.

Cordialement

[punck15]

Donc, je dois faire la dérivée par rapport à x égale à 0 puis la dérivée par rapport à y égale à 0 et cela me donnera le point f(x0,y0) ?

Cordialement

[Dicolevrai]

Salut
Ce n'est pas tout. Les extremum se trouve parmi les points qui annulent la dérivé (i.e. annulent simultanément les dérivés partielles).

Après avoir trouvé les points qui annulent la dérivé, on calcule la matrice hessienne en chacun de ces points.
-Si cette matrice hess est négative en un point (x0,y0), alors, ce point est un extremum. Si de plus, son coefficient (1,1) est positif alors, (x0,y0) est un minimum.

- Si la matrice hess est positive, alors, (x0,y0) n'est pas un extremum.

-si elle est nulle, on ne peut rien dire.

[A voir en vidéo sur Futura]

[punck15]

D'accord mais comment procède-t-on pour résoudre la matrice hessienne ?

[Seirios]

D'abord, on ne résout pas la matrice hessienne, on la calcule. Mais tu n'en as pas besoin ici, il suffit de répondre à la première question (qui n'est d'ailleurs pas très bien posée, n'as-tu pas oublié quelque chose en recopiant ?). Pour cela, tu peux écrire ; en particulier, il est très simple de minimiser cette expression.

[punck15]

Pour trouver le minimum il faut que j'égalise la dérivée à zéro par rapport à x ou à y ?

[punck15]

Il faut que la dérivée par rapport à x=0 ainsi que la dérivée par rapport à y=0 ce qui me permettra d'annuler (x-3)² et (y+1)², ce qui correspondra au minimum absolu.

Merci beaucoup

[topmath]

Bonsoir:

Pour trouver le minimum il faut que j'égalise la dérivée à zéro par rapport à x ou à y ?

Afin de trouver le minimum il faut que j'égalise les dérivées partielles à zéro par rapport à x et y .
et .


Cordialement

[punck15]

D'accord merci beaucoup

[Seirios]

Mais c'est une condition nécessaire sans être suffisante (comme l'a dit Dicolevrai) : regarde la fonction cubique en zéro, la dérivée s'y annule sans que la fonction n'admette de minimum. Encore un fois, tu n'as de tout manière pas besoin de passer par les dérivées.

[topmath]

Bonsoir :

Mais c'est une condition nécessaire sans être suffisante (comme l'a dit Dicolevrai) : regarde la fonction cubique en zéro, la dérivée s'y annule sans que la fonction n'admette de minimum. Encore un fois, tu n'as de tout manière pas besoin de passer par les dérivées.

Oui tout à fait Seirios sans aller plus loin (contre exemple), l'idée que j'ai proposée elle nécessaire sans être suffisante (comme l'a dit Dicolevrai) alors il va falloir que punck15 commence à s’initier a la Matrice hessienne .

Amicalement

[Dicolevrai]

punck15, dans ce cas particulier, tu n'as pas besoin des dérivés partielles. Regarde la factorisation faite par Seirios au post #6. Le minimum saute à l'oiel, et même à quel point il est atteint.

[QueNenni]

Seirios : C'est bien vu!
le minimum donne f(x;y) = 4