Question sur dimension d'un ensemble des applications

[SSTN]

Bonjour à tous

Est ce qu'on peut trouver un ensemble des applications de dimension 2 ??
ce que je sais est qu'il peut etre de dimension 0 (i.e l'ensemble ne contient que l'application nulle) ou de dimension 1 donc il contient autres applications pus que l'application nulle.

Merci.
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[gg0]

Bonjour.

Qu'appelles-tu "un ensemble des applications" ? car des espaces vectoriels d'applications de dimension 2, il y en a plein, à commencer par l'ensemble des applications affines de dans .

Cordialement.

[SSTN]

Continuons avec l'ensemble des applications affines: chaque application est une combinaison linéaire d'une application linéaire et une application constante? donc il est de dimension 2 ?

[Dicolevrai]

SALUT
oui !

[A voir en vidéo sur Futura]

[SSTN]

Merci à vous, j'ai compris!

[gg0]

Un exemple différent :
Soit E l'ensemble des applications de {0;1} dans . On le munit des lois + et . habituelles pour les fonctions. On obtient un espace vectoriel de dimension 2, une base étant composée de la fonction identité (I(0)=0,I(1)=1) et de son complément à 1 (J(0)=1, J(1)=0). En fait, ceci est une réécriture en termes de fonctions de ce qu'on fait avec , puisqu'une fonction de E est définie par le couple de ses images.

Cordialement.

[Dicolevrai]

Mais on obtient pas entièrement R^2

[Médiat]

Mais on obtient pas entièrement R^2

Et pourquoi cela ? Quel est (sont) l'élément (les éléments) de qui ne puisse(nt) s'écrire sous cette forme ?

[gg0]

Et pour enfoncer le clou, la fonction f telle que f(0)=a et f(1)=b est f=aI+bJ.
Et comme a et b sont quelconques, tout couple de réels est un couple d'image par une fonction.

Cordialement.

[Médiat]

Pour donner un autre exemple que celui de gg0 :

Je note l'ensemble des fonctions de dans
Si on prend 2 fonctions et telles que ,
Alors, muni des lois usuelles, est un -ev de dimension 2.

ll suffit de comprendre les hypothèses (y compris non-écrites) pour comprendre pourquoi cela marche de façon triviale.

[Seirios]

Un exemple peut-être plus naturel est donné par l'ensemble des solutions d'une équation différentielle linéaire. C'est un espace vectoriel de dimension égale au degré de l'équation différentielle.

[gg0]

Heu ...

les solutions de l'équation homogène (sans second membre). L'espace des solutions d'une équation différentielle même linéaire n'est généralement pas un espace vectoriel (c'est par contre un espace affine) pour les opérations habituelles.

Cordialement.

[Seirios]

Oui bien sûr, je pensais aux équations sans second membre; j'aurais dû le préciser.