Coeur et nilespace (dimension)

[paramine]

Bonjour j'ai du mal à trouver la réponse à cet exercice:
Soit E un espace vectoriel de dimension finie n et soit u appartenant à L(E). pour tout p sup ou égal à 0 on notera Kp=ker u^p et Ip=im u^p. on rappelle que par convention u^0=0 et K0={0}. j'ai montré que les suites (Kp) et (Ip) était respectivement croissante et décroissante, que Kp=Kp+1 et que Ip=Ip+1. on me demande de montrer que In0 et Kn0 sont supplémentaires avec n0 tel que Kn0=Kn0+1 et In0=In0+1. je pensais dire que dim E = dim In0 + dim Kn0 d'après le théorème du rang et montrer que dim (In0 inter Kn0)=0 avec la formule de Grassmann mais ne j'y arrive pas, auriez vous une idée?
-----

[gg0]

Bonjour.

Il y a des choses qui ne vont pas dans ce que tu expliques :
* "par convention u^0=0" A priori, c'est plutôt u⁰=I_E, de façon que K₀ soit réduit à 0_E et I₀=E
* " j'ai montré ... que Kp=Kp+1 et que Ip=Ip+1." ?? ta suite est constante ?

Pour la preuve cherchée, le théorème du rang donne le lien entre les dimensions de et donc de et . Et il est facile de démontrer directement que leur intersection est réduite à 0_E en prenant un élément de cette intersection.

Cordialement.

[paramine]

Effectivement il s'agit de u^0=Id et j'ai montré Kp=Kp+1 et Ip=Ip+1 quelque soit p sup ou égal à n0
si je prends un élément de l'intersection de Kn0 et In0 alors j'ai soit x appartenant Ker(un0) inter Im(un0), càd x appartient à Ker(un0) donc u(x)=0 et x appartient à Im(un0) donc u(x)=y mais je ne vois pas en quoi cela permet de réduire à 0 l'intersection

[gg0]

Tu n'aurais pas oublié la définition de n0 ?
Car si tu ne t'en sers pas, il n'y a pas de raison d'y arriver

Cordialement.

[A voir en vidéo sur Futura]

[paramine]

ok j'ai compris merci gg0