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Un énigme ? Trigons (somme des entiers de 1 à n) et cycles

  1. cyberlp23

    Date d'inscription
    juin 2014
    Messages
    20

    Question Un énigme ? Trigons (somme des entiers de 1 à n) et cycles

    Bonjour,

    Je suis confronté à ce petit problème mathématique : j'associe à un nombre n ce qu'on peut appeler son trigon, c'est-à-dire la somme des entiers de 1 à n.

    Ensuite, je réduis le résultat, s'il est supérieur à 1 000, par milliers. Exemple : 1 560 => 1 + 560 ; 45 783 => 45 + 783.

    Avec le nombre obtenu, je calcule à nouveau son trigon, et ainsi de suite.

    Le calcul n'est pas infini, car chaque nombre semble faire partie de l'un des 8 cycles.

    J'aimerais comprendre pourquoi, et mes maigres connaissances mathématiques datent d'il y une vingtaine d'années...

    Le détail, avec les scripts de calcul, est exposé sur cette page.

    Merci par avance pour vos éclairages !

    Mathias

    -----

     


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  2. toothpick-charlie

    Date d'inscription
    juillet 2012
    Messages
    2 678

    Re : Un énigme ? Trigons (somme des entiers de 1 à n) et cycles

    Bonjour,

    si tu considères une fonction qui à un nombre compris entre 1 et 1000 fait correspondre un autre nombre compris entre 1 et 1000, et si tu itères cette fonction, tu finis forcément par retrouver le nombre de départ (au pire après 1000 itérations), et donc ce n'est pas étonnant que tu trouves des cycles. Le fait qu'il y en ait 8 est plus remarquable.
     

  3. Médiat

    Date d'inscription
    août 2006
    Âge
    67
    Messages
    17 144

    Re : Un énigme ? Trigons (somme des entiers de 1 à n) et cycles

    Bonjour,

    On peut facilement montrer, par récurrence, que, pour .

    Pour reprendre le raisonnement de toothpick-charlie, comme la suite finira toujours par retomber entre 1 et 6000 (avec un petit effort supplémentaire on peut se limiter aux nombres entre 1 et 2000), on retombera bien sur les mêmes.
    Dernière modification par Médiat ; 22/06/2014 à 12h39.
    Je suis Charlie.
    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
     

  4. cyberlp23

    Date d'inscription
    juin 2014
    Messages
    20

    Re : Un énigme ? Trigons (somme des entiers de 1 à n) et cycles

    Merci pour vos réponses, il paraît en effet logique que le calcul aboutisse à des cycles, mais pourquoi ces nombres-là et pourquoi 8 cycles ?
    Comment démontrer qu'il n'y en a que 8 ?

    @Médiat: peux-tu expliciter ta formule s'il te plaît, et notamment la limite des 6000 ?
     

  5. toothpick-charlie

    Date d'inscription
    juillet 2012
    Messages
    2 678

    Re : Un énigme ? Trigons (somme des entiers de 1 à n) et cycles

    j'ai écrit plus haut quelque-chose de faux : en itérant une fonction de [1,n] dans [1,n] on n'est pas certain d'atteindre le point de départ, juste un point déjà vu.

    le problème avec ton travail c'est que ta façon de réduire les nombres n'est pas du tout classique. Et elle m'a l'air difficile à étudier.
     


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  6. Médiat

    Date d'inscription
    août 2006
    Âge
    67
    Messages
    17 144

    Re : Un énigme ? Trigons (somme des entiers de 1 à n) et cycles

    .

    Pour

    On peut largement affiner en choisissant autre chose que 6, mais mon but n'était pas de trouver la meilleure borne
    Dernière modification par Médiat ; 23/06/2014 à 09h25.
    Je suis Charlie.
    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
     

  7. cyberlp23

    Date d'inscription
    juin 2014
    Messages
    20

    Re : Un énigme ? Trigons (somme des entiers de 1 à n) et cycles

    @Médiat: Je suis un peu largué, pardon !
    Ta formule si j'ai bien compris permet de borner approximativement T', mais en quoi cela éclaire-t-il l'existence de cycles, et leur quantité ?

    @charlie: Oui, je veux bien croire que la méthode de calcul est peu orthodoxe, mais j'imagine que ses conséquences répondent tout de même à une loi mathématique
     

  8. Médiat

    Date d'inscription
    août 2006
    Âge
    67
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    17 144

    Re : Un énigme ? Trigons (somme des entiers de 1 à n) et cycles

    Cela démontre que toute suite finira en dessous de 6000 (et avec 2001, cela doit marcher aussi) et donc retombera sur une des suites définies par les nombres de 1 à 6000 (et donc ce n'est pas la peine de calculer toutes les suites jusqu'à 447 213 )
    Je suis Charlie.
    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
     

  9. cyberlp23

    Date d'inscription
    juin 2014
    Messages
    20

    Re : Un énigme ? Trigons (somme des entiers de 1 à n) et cycles

    Citation Envoyé par Médiat Voir le message
    Cela démontre que toute suite finira en dessous de 6000 (et avec 2001, cela doit marcher aussi) et donc retombera sur une des suites définies par les nombres de 1 à 6000 (et donc ce n'est pas la peine de calculer toutes les suites jusqu'à 447 213 )
    Ah oui, en effet c'est une formule utile

    Ce que je ne comprends pas c'est d'où sortent les 6000 et les 2000 ?
     

  10. gg0

    Date d'inscription
    avril 2012
    Âge
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    21 638

    Re : Un énigme ? Trigons (somme des entiers de 1 à n) et cycles

    Bonjour cyberlp23.

    Une fois que tu as établi par l'étude exhaustive des nombres de 1 à 999 que l'on termine sur l'un des 8 cycles (c'est ce que tu as fait si j'ai compris), on terminera toujours sur l'un de ces 8 cycles. En effet, ta méthode revient à travailler modulo 999, donc quel que soit le nombre n pris au départ (strictement positif, soit il est inférieur à 1000, soit T'(n)<1000 et on reprend donc un nombre déjà étudié. et on retombe sur son cycle.

    Quant à la question pourquoi 8 cycles (et pas 7 ou 9) ? Elle n'a sans doute pas plus de réponse que "pourquoi seulement 4 nombres premiers entre 1 et 10 ?". C'est une conséquence de ta définition.

    la question "pourquoi peu de cycles ?" me semble plus intéressante, et demanderait une étude des cas n=1 à 999.

    Cordialement.

    NB : Je n'ai pas trop compris ce que tu fais, car tu parles de réduction répétées, puis tu écris dans ton document "Si T'(n) > 1000, on n'opère pas de réduction de T'(n)." or j'ai pris l'exemple de254781 qui donne un trigon de 32456806371 que tu réduis en 1665 puis 666.
     

  11. gg0

    Date d'inscription
    avril 2012
    Âge
    68
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    21 638

    Re : Un énigme ? Trigons (somme des entiers de 1 à n) et cycles

    Il semblerait que si n est un nombre supérieur à 1000, n' sa réduction, alors T(n) et T(n') ont la même réduction (une fois suffisamment répétée pour avoir moins de 1000).
     

  12. Médiat

    Date d'inscription
    août 2006
    Âge
    67
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    17 144

    Re : Un énigme ? Trigons (somme des entiers de 1 à n) et cycles

    Citation Envoyé par gg0 Voir le message
    En effet, ta méthode revient à travailler modulo 999.
    Ce n'est pas ce que j'ai compris puisque T'(591) = 1110
    Je suis Charlie.
    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
     

  13. cyberlp23

    Date d'inscription
    juin 2014
    Messages
    20

    Re : Un énigme ? Trigons (somme des entiers de 1 à n) et cycles

    Citation Envoyé par gg0 Voir le message
    la question "pourquoi peu de cycles ?" me semble plus intéressante, et demanderait une étude des cas n=1 à 999.
    A partir de ceci ? http://www.mathiasdaval.com/trigon/t...php?nombre=999
    Sous quelle forme l'étudier ?

    Citation Envoyé par gg0 Voir le message
    NB : Je n'ai pas trop compris ce que tu fais, car tu parles de réduction répétées, puis tu écris dans ton document "Si T'(n) > 1000, on n'opère pas de réduction de T'(n)." or j'ai pris l'exemple de254781 qui donne un trigon de 32456806371 que tu réduis en 1665 puis 666.
    Je pense qu'il s'agit d'une erreur, en effet ils devraient avoir la même réduction !
    Dans l'exemple de 591 :
    T(591)= 174936
    T'(591) = 174 + 936 = 1110
    Donc on repart de T'(T') = 1 + 110 = 111
    Et T(111) et ainsi de suite.
     

  14. Médiat

    Date d'inscription
    août 2006
    Âge
    67
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    17 144

    Re : Un énigme ? Trigons (somme des entiers de 1 à n) et cycles

    Il faudrait savoir, car sur votre site il y a des exemples où on n'applique chaque opération qu'une seule fois (591, mais aussi 1110, 2002 etc.).


    Si c'est cette dernière version qui est la bonne, alors la question est trivial, puisqu'une opération se termine forcément en dessous de 999, donc au maximum 999 suites !
    Je suis Charlie.
    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
     

  15. cyberlp23

    Date d'inscription
    juin 2014
    Messages
    20

    Re : Un énigme ? Trigons (somme des entiers de 1 à n) et cycles

    En effet, je m'aperçois qu'il y a quelques incohérences sur le site, mais en fait j'ai l'impression que cela ne change rien, qu'on effectue la réduction systématiquement ou pas, dans le sens où l'on retombe en fin de compte sur les mêmes cycles. Mais peut-être me trompé-je ?
     


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