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Un énigme ? Trigons (somme des entiers de 1 à n) et cycles




  1. #1
    cyberlp23

    Question Un énigme ? Trigons (somme des entiers de 1 à n) et cycles

    Bonjour,

    Je suis confronté à ce petit problème mathématique : j'associe à un nombre n ce qu'on peut appeler son trigon, c'est-à-dire la somme des entiers de 1 à n.

    Ensuite, je réduis le résultat, s'il est supérieur à 1 000, par milliers. Exemple : 1 560 => 1 + 560 ; 45 783 => 45 + 783.

    Avec le nombre obtenu, je calcule à nouveau son trigon, et ainsi de suite.

    Le calcul n'est pas infini, car chaque nombre semble faire partie de l'un des 8 cycles.

    J'aimerais comprendre pourquoi, et mes maigres connaissances mathématiques datent d'il y une vingtaine d'années...

    Le détail, avec les scripts de calcul, est exposé sur cette page.

    Merci par avance pour vos éclairages !

    Mathias

    -----


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  3. #2
    toothpick-charlie

    Re : Un énigme ? Trigons (somme des entiers de 1 à n) et cycles

    Bonjour,

    si tu considères une fonction qui à un nombre compris entre 1 et 1000 fait correspondre un autre nombre compris entre 1 et 1000, et si tu itères cette fonction, tu finis forcément par retrouver le nombre de départ (au pire après 1000 itérations), et donc ce n'est pas étonnant que tu trouves des cycles. Le fait qu'il y en ait 8 est plus remarquable.

  4. #3
    Médiat

    Re : Un énigme ? Trigons (somme des entiers de 1 à n) et cycles

    Bonjour,

    On peut facilement montrer, par récurrence, que, pour .

    Pour reprendre le raisonnement de toothpick-charlie, comme la suite finira toujours par retomber entre 1 et 6000 (avec un petit effort supplémentaire on peut se limiter aux nombres entre 1 et 2000), on retombera bien sur les mêmes.
    Dernière modification par Médiat ; 22/06/2014 à 12h39.
    Je suis Charlie.
    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse


  5. #4
    cyberlp23

    Re : Un énigme ? Trigons (somme des entiers de 1 à n) et cycles

    Merci pour vos réponses, il paraît en effet logique que le calcul aboutisse à des cycles, mais pourquoi ces nombres-là et pourquoi 8 cycles ?
    Comment démontrer qu'il n'y en a que 8 ?

    @Médiat: peux-tu expliciter ta formule s'il te plaît, et notamment la limite des 6000 ?

  6. #5
    toothpick-charlie

    Re : Un énigme ? Trigons (somme des entiers de 1 à n) et cycles

    j'ai écrit plus haut quelque-chose de faux : en itérant une fonction de [1,n] dans [1,n] on n'est pas certain d'atteindre le point de départ, juste un point déjà vu.

    le problème avec ton travail c'est que ta façon de réduire les nombres n'est pas du tout classique. Et elle m'a l'air difficile à étudier.

  7. A voir en vidéo sur Futura
  8. #6
    Médiat

    Re : Un énigme ? Trigons (somme des entiers de 1 à n) et cycles

    .

    Pour

    On peut largement affiner en choisissant autre chose que 6, mais mon but n'était pas de trouver la meilleure borne
    Dernière modification par Médiat ; 23/06/2014 à 09h25.
    Je suis Charlie.
    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse

  9. #7
    cyberlp23

    Re : Un énigme ? Trigons (somme des entiers de 1 à n) et cycles

    @Médiat: Je suis un peu largué, pardon !
    Ta formule si j'ai bien compris permet de borner approximativement T', mais en quoi cela éclaire-t-il l'existence de cycles, et leur quantité ?

    @charlie: Oui, je veux bien croire que la méthode de calcul est peu orthodoxe, mais j'imagine que ses conséquences répondent tout de même à une loi mathématique

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  11. #8
    Médiat

    Re : Un énigme ? Trigons (somme des entiers de 1 à n) et cycles

    Cela démontre que toute suite finira en dessous de 6000 (et avec 2001, cela doit marcher aussi) et donc retombera sur une des suites définies par les nombres de 1 à 6000 (et donc ce n'est pas la peine de calculer toutes les suites jusqu'à 447 213 )
    Je suis Charlie.
    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse

  12. #9
    cyberlp23

    Re : Un énigme ? Trigons (somme des entiers de 1 à n) et cycles

    Citation Envoyé par Médiat Voir le message
    Cela démontre que toute suite finira en dessous de 6000 (et avec 2001, cela doit marcher aussi) et donc retombera sur une des suites définies par les nombres de 1 à 6000 (et donc ce n'est pas la peine de calculer toutes les suites jusqu'à 447 213 )
    Ah oui, en effet c'est une formule utile

    Ce que je ne comprends pas c'est d'où sortent les 6000 et les 2000 ?

  13. #10
    gg0

    Re : Un énigme ? Trigons (somme des entiers de 1 à n) et cycles

    Bonjour cyberlp23.

    Une fois que tu as établi par l'étude exhaustive des nombres de 1 à 999 que l'on termine sur l'un des 8 cycles (c'est ce que tu as fait si j'ai compris), on terminera toujours sur l'un de ces 8 cycles. En effet, ta méthode revient à travailler modulo 999, donc quel que soit le nombre n pris au départ (strictement positif, soit il est inférieur à 1000, soit T'(n)<1000 et on reprend donc un nombre déjà étudié. et on retombe sur son cycle.

    Quant à la question pourquoi 8 cycles (et pas 7 ou 9) ? Elle n'a sans doute pas plus de réponse que "pourquoi seulement 4 nombres premiers entre 1 et 10 ?". C'est une conséquence de ta définition.

    la question "pourquoi peu de cycles ?" me semble plus intéressante, et demanderait une étude des cas n=1 à 999.

    Cordialement.

    NB : Je n'ai pas trop compris ce que tu fais, car tu parles de réduction répétées, puis tu écris dans ton document "Si T'(n) > 1000, on n'opère pas de réduction de T'(n)." or j'ai pris l'exemple de254781 qui donne un trigon de 32456806371 que tu réduis en 1665 puis 666.

  14. #11
    gg0

    Re : Un énigme ? Trigons (somme des entiers de 1 à n) et cycles

    Il semblerait que si n est un nombre supérieur à 1000, n' sa réduction, alors T(n) et T(n') ont la même réduction (une fois suffisamment répétée pour avoir moins de 1000).

  15. #12
    Médiat

    Re : Un énigme ? Trigons (somme des entiers de 1 à n) et cycles

    Citation Envoyé par gg0 Voir le message
    En effet, ta méthode revient à travailler modulo 999.
    Ce n'est pas ce que j'ai compris puisque T'(591) = 1110
    Je suis Charlie.
    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse

  16. #13
    cyberlp23

    Re : Un énigme ? Trigons (somme des entiers de 1 à n) et cycles

    Citation Envoyé par gg0 Voir le message
    la question "pourquoi peu de cycles ?" me semble plus intéressante, et demanderait une étude des cas n=1 à 999.
    A partir de ceci ? http://www.mathiasdaval.com/trigon/t...php?nombre=999
    Sous quelle forme l'étudier ?

    Citation Envoyé par gg0 Voir le message
    NB : Je n'ai pas trop compris ce que tu fais, car tu parles de réduction répétées, puis tu écris dans ton document "Si T'(n) > 1000, on n'opère pas de réduction de T'(n)." or j'ai pris l'exemple de254781 qui donne un trigon de 32456806371 que tu réduis en 1665 puis 666.
    Je pense qu'il s'agit d'une erreur, en effet ils devraient avoir la même réduction !
    Dans l'exemple de 591 :
    T(591)= 174936
    T'(591) = 174 + 936 = 1110
    Donc on repart de T'(T') = 1 + 110 = 111
    Et T(111) et ainsi de suite.

  17. #14
    Médiat

    Re : Un énigme ? Trigons (somme des entiers de 1 à n) et cycles

    Il faudrait savoir, car sur votre site il y a des exemples où on n'applique chaque opération qu'une seule fois (591, mais aussi 1110, 2002 etc.).


    Si c'est cette dernière version qui est la bonne, alors la question est trivial, puisqu'une opération se termine forcément en dessous de 999, donc au maximum 999 suites !
    Je suis Charlie.
    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse

  18. #15
    cyberlp23

    Re : Un énigme ? Trigons (somme des entiers de 1 à n) et cycles

    En effet, je m'aperçois qu'il y a quelques incohérences sur le site, mais en fait j'ai l'impression que cela ne change rien, qu'on effectue la réduction systématiquement ou pas, dans le sens où l'on retombe en fin de compte sur les mêmes cycles. Mais peut-être me trompé-je ?

  19. #16
    gg0

    Re : Un énigme ? Trigons (somme des entiers de 1 à n) et cycles

    J'attendrai que tu aies défini précisément l'algorithme de calcul pour regarder à nouveau.

  20. #17
    cyberlp23

    Re : Un énigme ? Trigons (somme des entiers de 1 à n) et cycles

    Citation Envoyé par gg0 Voir le message
    J'attendrai que tu aies défini précisément l'algorithme de calcul pour regarder à nouveau.
    Disons que l'on opère la réduction systématiquement. C'est-à-dire:

    1°) Soit n

    2°) T(n) = n(n+1) / 2

    3°) T'(n) = T(n) réduit par tranches de 3 chiffres [d'ailleurs comment exprimer mathématiquement ce calcul ??]

    4°) Si T'(n) > 1 000, alors on opère T'(T'(n)).

    5°) On reprend à l'étape 2°) en calculant T(T'(n)), et ainsi de suite.

    Mais il me semble, que l'on passe par l'étape 4 ou pas, que les cycles sont exactement les mêmes, et les nombres qui s'y trouvent en même proportion. La seule différence viendrait du fait qu'apparaît un nouveau cycle = 1 000 (au lieu qu'il soit réduit au cycle de 1 + 000 = 1).

  21. #18
    gg0

    Re : Un énigme ? Trigons (somme des entiers de 1 à n) et cycles

    Ok.

    En comprenant le 4°) comme "on opère la réduction modulo 999 tant qu'on dépasse 999, mon message #10 est correct.

    Cordialement.

  22. #19
    cyberlp23

    Re : Un énigme ? Trigons (somme des entiers de 1 à n) et cycles

    Citation Envoyé par gg0 Voir le message
    Ok.

    En comprenant le 4°) comme "on opère la réduction modulo 999 tant qu'on dépasse 999, mon message #10 est correct.

    Cordialement.
    Bien compris !

    Par contre saurais-tu exprimer par une formule cette réduction modulo 999 d'un entier n ?

  23. #20
    Médiat

    Re : Un énigme ? Trigons (somme des entiers de 1 à n) et cycles

    Il suffit de calculer le reste modulo 999 de T(n) : T'(n) = MOD(T(n), 999), comme cela il n'y a qu'une seule opération à faire !

    (Ceci est une conséquence de MOD(1000, 999) = 1)
    Je suis Charlie.
    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse

  24. #21
    Amanuensis

    Re : Un énigme ? Trigons (somme des entiers de 1 à n) et cycles

    Le problème posé est modulo 1000 ou modulo 999?

    ----

    Une question incidente, par curiosité: comme exprimer T(k) =k(k+1)/2 mod n en arithmétique dans Z/nZ quand n est pair?

    Une difficulté vient de ce que (k+n)(k+n+1)/2 = k(k+1)/2 + n(n+1)/2 + nk, qui n'est égal à k(k+1)/2 modulo n que si n(n+1)/2 est nul modulo, donc n impair.

    (Ceci pour dire que n=999 est peut-être plus simple que n=1000...)
    Pour toute question, il y a une réponse simple, évidente, et fausse.

  25. #22
    Amanuensis

    Re : Un énigme ? Trigons (somme des entiers de 1 à n) et cycles

    Incidente: cette formule-là
    Citation Envoyé par Médiat Voir le message
    .
    s'affiche chez moi comme une image indiquant en rouge encadré de rouge "Only futura-sciences may use mimetex (...) Forkosh"

    Le source est

    ((k > 1) \wedge (n < 6.10^{3k})) \Rightarrow T'(n) < 6.10^{3(k-1)}

    Normal? Bug FS? Bug mon visualisateur HTML?
    Dernière modification par Amanuensis ; 23/06/2014 à 09h26.
    Pour toute question, il y a une réponse simple, évidente, et fausse.

  26. #23
    Médiat

    Re : Un énigme ? Trigons (somme des entiers de 1 à n) et cycles

    Dans la mesure où 1003 donne 4 et non 3, il semble bien que ce soit modulo 999 et non modulo 1000, par contre il semble aussi que les classes choisies soient de 1 à 999 en place des usuels de 0 à 998.
    Je suis Charlie.
    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse

  27. #24
    Médiat

    Re : Un énigme ? Trigons (somme des entiers de 1 à n) et cycles

    Citation Envoyé par Amanuensis Voir le message
    Incidente: cette formule-là


    s'affiche chez moi comme une image indiquant en rouge encadré de rouge "Only futura-sciences may use mimetex (...) Forkosh"

    Normal? Bug?
    Bug mal maitrisé, chez moi cela marche.

    Je fais une modification qui fonctionne de temps en temps (ajouter un espace), prévenez-moi de l'impact chez vous.
    Je suis Charlie.
    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse

  28. #25
    cyberlp23

    Re : Un énigme ? Trigons (somme des entiers de 1 à n) et cycles

    @Médiat: Ce n'est pas faux

    @Amanuensis: modulo 999.

    Par contre, pour n=999, il faudra préciser que le cycle est de 999 et non de 0 (puisque MOD (999,999)=0).

    Pour récapituler la formule de calcul :

    T'(n) = MOD (n(n+1) / 2, 999)

    ?

  29. #26
    Amanuensis

    Re : Un énigme ? Trigons (somme des entiers de 1 à n) et cycles

    Citation Envoyé par Médiat Voir le message
    Je fais une modification qui fonctionne de temps en temps (ajouter un espace), prévenez-moi de l'impact chez vous.
    Avec la modification de 9h25, la formule apparaît correctement sur mon écran.
    Pour toute question, il y a une réponse simple, évidente, et fausse.

  30. #27
    Médiat

    Re : Un énigme ? Trigons (somme des entiers de 1 à n) et cycles

    Comme T'(n) = T'(998-n), on peut se limiter aux séries entre 0 et 499
    Je suis Charlie.
    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse

  31. #28
    cyberlp23

    Re : Un énigme ? Trigons (somme des entiers de 1 à n) et cycles

    Citation Envoyé par Médiat Voir le message
    Comme T'(n) = T'(998-n), on peut se limiter aux séries entre 0 et 499
    Tu as raison, et même après vérification, tous les 8 cycles sont déjà présents entre 1 et 297.
    Et même entre 1 et 38, à l'exception du cycle 297 qui n'est composé que de lui-même.

    Maintenant, à savoir pourquoi...

  32. #29
    Amanuensis

    Re : Un énigme ? Trigons (somme des entiers de 1 à n) et cycles

    Citation Envoyé par cyberlp23 Voir le message
    T'(n) = MOD (n(n+1) / 2, 999)
    Comme 999 impair, cela peut se réécrire T'(n) = 500 n(n+1) en arithmétique dans Z/999Z

    Sous cette forme on peut étudier l'image de T', par l'équation 500n² + 500 n - k = 0, soit 500(n+500)² = 498+k, ou encore (n+500)² = 996+2k. La question est alors si on peut exprimer des conditions sur les résidus quadratiques

    On peut imaginer que beaucoup de propriétés "s'expliquent" par les propriétés des résidus quadratiques modulo 999.

    Maintenant, pour que "explication" ait un sens, faudrait étudier la question modulo un entier quelconque (ou déjà entier impair quelconque), et essayer d'en tirer des règles.
    Dernière modification par Amanuensis ; 23/06/2014 à 10h51.
    Pour toute question, il y a une réponse simple, évidente, et fausse.

  33. #30
    Amanuensis

    Re : Un énigme ? Trigons (somme des entiers de 1 à n) et cycles

    Citation Envoyé par Amanuensis Voir le message
    soit 500(n+500)² = 498+k, ou encore (n+500)² = 996+2k.
    Correction: soit 500(n+500)² = 125+k, ou encore (n+500)² = 250+2k
    Pour toute question, il y a une réponse simple, évidente, et fausse.

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