Somme des entiers impaires

[invite256e6a6a]

Bonjour à tous !

J'ai un problème :

Trouvez la somme des nombres impaires de 1 à 209 :

J'en arrive là :

[(2009+1) / 2]² = 1010025

Mais je ne comprend toujours pas la formule :

[(n+1) / 2]², Que signifient le +1 le / 2 et le ² par rapport au calcul, bref,comment y parvenir ?

Merci d'avance de ne pas dire de bétises
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[invite7ffe9b6a]

On somme

1,3,5,7,9,...,207,209

quel genre de suite forme ces nombres?

[invite256e6a6a]

C'est d'une suite d'entiers impaires de 1 à 2009.

[invitef1b93a42]

Bonjour,
1+3+5+7+9...+2007+2009 est une suite arithmétique de raison 2 et de premier terme 1 ! : ) Donc d'après le cours tu peux facilement trouver la somme des termes d'une suite arithmétique de raison 2 et de premier terme 1... Ainsi, soit d'où et donc .

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitea3edf3aa]

bonjour
Remarquons d'abord que le n(ième) nombre entier impair
s'écrit 2n -1
Soit S la somme des n premiers nombres impairs
S = 1+3+5+7+.....2n-1
Ecrivons S en commençant par 2n-1 :
S =2n-1 +2n-3 + 2n-5 +.....5+3+1
Additionnons membre à membre :
2S = 2n + 2n +2n + ... + 2n
n fois 2n
Ainsi 2S = 2n*n

S = n²
2009 est le 1005 ième nombre impair ,donc on a
1005² = 1010025

[invitef1b93a42]

Bonjour,
1+3+5+7+9...+2007+2009 est une suite arithmétique de raison 2 et de premier terme 1 ! : ) Donc d'après le cours tu peux facilement trouver la somme des termes d'une suite arithmétique de raison 2 et de premier terme 1... Ainsi, soit d'où et donc . Ici on prend soit le dernier terme, et il y a donc 1004+1 termes. Désolé du double post mais la syntaxe des sommes est très mal faite.

[invite256e6a6a]

Je ne suis qu'un collégien, je ne comprend pas vraiment tout cela mais le petit n représente le n(ième) nombre entier impaire donc n'importe quel nombre impaire ?

[invitea3edf3aa]

Dans ma réponse n est le rang du nombre impair .Par exemple 7 est le
4 ième nombre impair ; on a n = 4 et 2x4 -1 = 7

15 est le 8 ième nombre impair ; on a n =8 et 2x8-1 = 15

[invitef1b93a42]

Tu aurais dû préciser que tu étais au collège... Oui représente un certain nombre impair et ici en locurrence d'où . Ce que tu peux faire c'est la méthode que Gauss avait admirablement trouvé lorsqu'il était jeune, qui consiste à additionner les membres extrêmes de ta somme par pairs, je m'explique. 1+3+5+7+9+...+2001+2003+2005+2 007+2009 est la somme qu'on recherche. On remarque que 1+2009 = 2010, 3+2007 = 2010, 5+2005=2010, 7+2003 = 2010, 9+2001 = 2010, ... et ainsi de suite. Maintenant il faut trouver par combien on doit multiplier 2010 pour trouver la valeur de la somme 1+3+5+7+9+...2007+2009. Tout simplement, la somme 1+3+5+7+9+...+2005+2007+2009 comporte termes c'est-à-dire termes ! Donc, la somme soit et donc ! Pourquoi diviser par 2 ? Tout simplement parce qu'on a additionné des pairs lorsqu'on a additionner 1 et 2009, 3 et 2007, 5 et 2005... donc on divise par 2 le résultat final. En effet, on a additionné des termes de la somme par 2 donc la somme, avec les termes additionnés par 2, c'est-à-dire 2010+2010+2010+2010+...2010+20 10, ne comporte que la moitié des termes de la somme 1+3+5+7+9+...+2007+2009 ça parait logique. : ) Si tu veux plus de précisions demande moi et je répondrai à tes questions, mais relis bien ce que j'ai fais et tu devrais comprendre.

[invite256e6a6a]

Donc l'on doit calculer ceci: 1+3+5+7+9+...+2001+2003+2005+2 007+2009
Or on peut remarquer que: 2010 = 1+2009 = 3+2007 = 5+2005 = 7+2003= 9+2001

Cela j'ai compris.

Mais comment sait-on que (n+1)*((n*2)+1) vaut la somme de tout ces termes ?
Est-ce car il y a 5 chiffres impaires pour 5 chiffres paires dans chaque dizaine ? ( exemple : 2;4;6;8;0 et 1;3;5;7;9 )
Rajoute-t'on le +1 car c'est un chiffre impaire ( chiffre paire + 1 ) donc pour les chiffres paires on ne rajoute rien ?

Le reste je comprend pour le moment...

Merci encore de m'avoir répondu

[invited0dcb8ae]

Moi aussi je vous remercie. Je bloquais.

[invite256e6a6a]

Désolé pour le double post, mais pouvez vous répondre à ma question s'il vous plait. Ou toi supertoinou. Le prof nous avait expliqué mais je n'ai toujours pas compris ce système et je dois rendre l'exercice dans une semaine.

[invited0dcb8ae]

On calcule tous ces nombres en faisant 1005 fois 2010 car comme il est dit plus haut 1+2009 = 2010 ; 2+2008 = 2010...etc.

On fit ça 1005 fois car on arrive à 1005 + 1005 = 2010.

On divise ensuite par deux car on cherche la somme des nombres impairs.

Voilà, il suffit ensuite de rédiger une réponse...