une conjecture & deux concepts

[fluorhydrique]

Bonjour
je poste en deux fois fois pour améliorer la lecture du sujet
les deux posts ne sont pas excessivements longs et c'est pour plus de confort
dans ce premier post il y a deux préalables+la conjecture+un exemple
et enfin dans le deuxième et dernier post se trouve présenté les deux concepts

merci pour votre lecture et vos contre exemples , objections ou remarques
voici ici une conjecture et deux concepts sur les réels irrationnels que j'ai réalisé dans mon temps libre
évidemment j'espère que vous pourrez la démentir car bien que je la trouve séduisante et très simple à poser (le sujet n'est vraiment pas long) ça m'étonnerai beaucoup qu'elle puisse être vrai mais elle est trop belle pour la taire et de plus eh bien je la crois volontier bien que je suis prêt à la larguer sans remords dans l'impossibilitée de la demontrer formellement

Avant propos (avant de présenter la conjecture et ces deux concepts et afin d'en faciliter la lecture je pose deux préalables qui n'ont à priori aucuns rapport entre eux )

Préalable n°1
pour tout réel strictement positif strictement positif on considère la notation

ou qui désigne l'expression de x en fraction continue selon

on considère les suites et definies par

on pose qui désigne la partie entière de x et qui désigne la partie fractionnaire de x

et pour alors et

ainsi par exemple

on considère et on pose l'ensemble solution du produit cartésien

il résulte donc que alors selon on peut dire que

et on pose l'ensemble solution du produit cartésien

il résulte donc que alors selon on peut dire que

il résulte donc aussi que est un irrationnel quadratique alors bien que selon on peut dire que

on peut dire aussi:

SOIT UNIQUEMENT qu'il existe avec tel que

, ... , , ,..., , , ,
et ainsi de suite ...


SOIT UNIQUEMENT qu'il existe et qu'il existe avec tels que

, ... , , ,..., , , ,
et ainsi de suite ...

Préalable n°2

on considère les deux lettres X et Y
elles servent d'alphabet binaire permettant d'écrire un message
il ne s'agit pas ici d'objets mathématiques mais seulement de lettres d'alphabets comme le sont les 26 lettres permettant d'écrire un message en français
le message que l'on va écrire avec cet alphabet sera infini et tels qu'il ne soit pas possible de trouver que la suite des X et Y qui le composent soit périodique

remarque cette proposition d'écriture n'est pas unique il existe des autres possibilités d'écrire un tel message selon d'autres méthodes

la méthode proposée ici ou son équivallent a été découverte au IXX ième siècle cependant je ne me rappelle plus du nom de l'auteur car j'avais vu brièvement un medecin en fabriquer et avoir parlé à son collègue en donnant le nom du découvreur (il se trouve que par hasard je passais par là, le regard hagard et l'esprit en alerte, passant d'un couloir à l'autre d'un hôpital très célèbre du sud est parisien dans lequel j'étais venu me reposer de mon patron qui dès six heures du mat m'engueulait à faire réveiller tous les habitants de l'immeuble-même qu'une fois les flics sont venus le calmer un peu
bref donc c'était à l'âge de dix sept ans que j'entendit furtivement parler de cela tandis que j'était en apprentissage pour un métier qui me permit de gagner ma vie plus tard mais ne m'aida en rien pour les maths (sauf cette fois là et encore indirectement)
certes j'ai bien l'impression de raconter ma vie et on s'en tape allègrement mais cependant il faut bien que je nomme mes sources
n'est-ce pas?

Bref je reprend :
pour construire ce message on procède par étapes et deux sous étapes à chacune des étapes qui sont en nombre infini car le message écrit est infini

on part du mot XY on passe à la réalisation de la premiere étape

on en réalise un message palyndrome ce qui nous donne XYYX ce qui constitue la première sous étape

puis à partir de là on reprend l'écriture de ce message en inversant les lettres ce qui nous donne XYYXYXXY ce qui constitue la deuxième sous étape et cloture la première étape

on passe à la seconde étape en procédant de la même manière on obtiens donc

XYYXYXXYYXXYXYYX YXXYXYYXXYYXYXXY

et on continue ainsi de suite à l'infini...

comme je ne me rappelle plus du nom de l'auteur de cette invention pour faciliter la lecture de ce qui suit on dira que le message infini obtenu par cette méthode est dit : transcription littéraire du deuxième ordre

je lui donne ce nom afin de définir plus aisément des "transcriptions littéraires" d'ordre

on va à présent construire des "transcriptions littéraires" d'ordre 3

on se donne X , Y ,Z pour alphabet et il s'agit de trouver une méthodes (parmis d'autres ) pour écrire ce type de message
infini et sans période

on part du mot XYZ

Premiere étape (le message étant infini on effectue selon la même méthode à chaque étape)

on commence par ignorer la lettre Z et on procède comme on l'a fait pour la "transcriptions littéraires" d'ordre 2

on obtiens donc XYYXYXXY

puis on procede de la même manière mais cette fois ci en ignorant la lettre Y

on obtiens donc XYYXYXXY XZZXZXXZ et pour finir cette étape on continue de la même manière mais cette fois ci en ignorant la lettre X

on obtiens donc XYYXYXXY XZZXZXXZ YZZYZYYZ et cette premiere étape est terminée

pour la deuxième étape on part du mot obtenu XYYXYXXYXZZXZXXZYZZYZYYZ et on procède de la même manière que précédemment lorsqu'on était parti du mot XYZ

bref ainsi de suite à l'infini

pour construire des "transcriptions littéraires" d'ordre 4 cette fois ci on se donne W ,X , Y ,Z pour alphabet

on a vu comment procéder de sorte qu'il est aisé de se donner cette méthode pour définir des transcriptions litterraires d'ordre n

bon alors la conjecture là deviens facile à écrire (mais certainement pas facile à demontrer)

on considère et on pose l'ensemble solution du produit cartésien

et on construit une transcription littéraire d'ordre

cette transcription est construite avec u lettres:

à toute lettre de cette transcription on fait correspondre un entier naturel et un élément

par ailleurs on fait le choix ou non de prendre un élément quelconque definie par un entier naturel

cet element (si on en a fait le choix) correspond à la premiere lettre de la transcrition litteraire que l'on a construite précédemment

(ainsi donc selon son choix on obtiens un message commençant pas la lettre S ou non)

alors en notant la suite d'entier naturel construite de cette façon est telle que

est un nombre irrationnel algebrique dont le polynome minimal dont il est l'une des racines est un polynome du degré u+1

par exemple je prend un exemple hyper simple

je vais construire un polynôme minimal de degré trois à partir de ses trois racines ce polynôme

de sorte que





Alors si ma conjecture est exacte alors obligatoirement j'obtiens que les coefficients obtenus en fabriquant mes racines selon ma méthode sont des rationnels

je vais encore simplifier mon exemple au maximum en posant racines multiples simplement construites en posant
pour
et et on ne prend pas le lettre S pour faire au plus simple encore une fois

ainsi donc



et donc



j'arrête là l'énumération des entiers de sa fraction infinie car la liste de ces entiers est infinie

j'obtiens donc

la derniere décimale n'est pas certaine

est un irrationnel racine d'un polynôme minimal de degré 3

ce polynôme

possèderai (si ma conjecture est exacte) des coefficients rationnels -mais là pour mon exemple la période de la parie fractionnaire n'apparait pas-

et qui sont







il faudrait vérifier en faisant des calculs sur des grands nombres et allonger au maximum possible la liste des entiers qui est infinie

racine multiple du polynôme

je reviens plus tard pour les deux concepts que je présente sur ce fil
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[Médiat]

Bonjour,

Quelques expressions sont malheureuses (par exemple : "ensemble solution du produit cartésien"), mais plus grave, si j'ai bien compris, dans votre exemple de la fin, est un irrationnel non quadratique, mais serait rationnel, ce qui est impossible.

[Médiat]

Bonjour,

Ce que j'ai compris de votre post :
1) Vous présentez une construction des nombres réels à l'aide de fractions continues, en faisant remarquer que :

• "La fraction continue est finie"
• est un algébrique quadratique "La fraction continue est périodique à partir d'un certain rang"
• vous présentez un algorithme de calcul de la fraction continue.

Je suis d'accord avec tout cela (pour ceux que cela intéresse, le document final.pdf là : http://forums.futura-sciences.com/ma...ml#post3958180 paragraphe II.8.6 page 36-41 donne plus de détails).


2) Vous présentez une méthode de construction de suites non périodiques sur un alphabet de longueur n (qui ressemble beaucoup à la suite de Thue-Morse)

Là encore je suis d'accord, sans savoir pourquoi vous faites ce choix.

3) Vous présentez une conjecture, qui consiste, pour une certaine classe de nombres algébriques non quadratiques, à trouver leur polynome minimal.

D'abord, je ne suis pas convaincu que cela marche avec l'exemple que vous avez donné, mais, a priori, je ne vois pas l'intérêt, la classe qui fonctionnerait étant très spécifique

N'hésitez pas à me corriger si j'ai mal compris vos calculs ou vos intentions.

[fluorhydrique]

Bonjour
en fait mon exemple n'est pas bon
votre remarque est exacte
je vais essayer en prennant un autre exemple cas où les trois racines sont distinctes
je vais re essayer

par exemple pour la premiere racine x1 je choisirai X=1 et Y=2 comme celui que j'ai construit
pour la deuxieme racine je choisirai X=3,4 et Y=5,6
pour la derniere racine je choisirai X=8 et Y=9

[A voir en vidéo sur Futura]

[fluorhydrique]

en fait mon exemple est naze je devais pas choisir x1=x2=x3 puisque la racine multiple de l'equation ax^3+b^2+cx+d=0 est le rationnel -b/3a

[Médiat]

Avant de vous lancer dans les calculs, pouvez-vous résumer le but que vous poursuivez ? Est-ce bien de construire le polynômes minimal d'une certaine classe d'algébriques non quadratiques ? Dans ce cas, pouvez-vous caractériser précisément cette classe, et en quoi c'est intéressant ?

[fluorhydrique]

eh bien la classse est caractérisée pas la transcription d'ordre u et je suppose que toute cette classe contiens tous les algebriques racine du polynome minimal de degre u+1

en fait en ce moment je bosse pas là dessus mon idée était tellement simple que je l'ai posté apres tout mon idée est tres simple

bon je termine pour l'exemple que je cherche en fait pour l'ordre 2 ( pour l'ordre 2 il s'agit bien de Prouhet-Thue-Morse)

si je prend le polynome minimal defini par
de sorte que ce polynome possede une racine réelle et deux racines complexes et conjuguées et

mais alors dans ce cas je ne demontre rien ni ne peut trouver de contre exemple

car là



il ne me reste plus que definir ce polynome selon deux choix possibles (on a écarté les deux precedentes)

Soit uniquement tel que x1 est une racine réelle et les deux autres x2=x3 racines relles multiples

Soit uniquement x1,x2,x3 trois racines réelles et disctintes

[Médiat]

J'avoue que je ne comprends pas où vous voulez en venir ; les relations entre racines et coefficients d'un polynômes sont connues depuis longtemps ...

[fluorhydrique]

c'est bien ce que je dit Mediat

j'ai supposé un truc:construire un irrationnel de telle maniere selon donc avec mes transcription d'ordre u (l'ordre 2 etant celle de Prouhet-Thue-Morse)
et supposé que cet irrationnel est racine d'un polynome de degré u+1

mais j'ai RIEN fait d'autre ici!

[fluorhydrique]

avant de partir et clore ce fil à moins qu'un idée me vienne pour le relancer mais j'en doute) ma conjecture ça fait joli à écrire

au moins c'est poétique

"tout irrationnel algébrique racine d'un polynôme minimal de degré n+1 se construit à partir d'un certain rang par une transcription littéraire d'ordre n>0 à partir d'un alphabet de lettres chacunes d'elles représentant une suite finie d'entiers naturels . la transcription litteraire d'ordre 2 étant celle de Prouhet-Thue-Morse. la transcription litteraire d'ordre 1 étant tout simplement une suite infinie d'une seule lettre . ces lettres étant celle d'un alphabet elle se doivent donc êtres différentes les unes des autres et la quantitée de lettre de l'alphabet qu'on se donne définit l'ordre de cette transcription"

après si c'est vrai c'est autre chose là je peux pas l'affirmer

[fluorhydrique]

ma conjecture présentée comme ça est incomplète alors avant de partir je la termine
"deux lettres sont dites identiques si la suite d'entiers naturels non nuls qu'elles représentent sont identiques qu'elle soient leur arrangements"

bon là c'est bon je ne peux plus rien dire d'autre

[fluorhydrique]

sauf que je me suis planté!

OUI CAR MA CONJECTURE EST FAUSSE

voici pourquoi :

entre autre que de dire que: tel irrationnel construit selon ma methode de " transcription litteraire d'ordre u" serait racine d'un polynome minimal d'ordre u+1 ça bon je sais pas si c'est vrai ou pas

ma conjecture expose aussi l'idée de construire tous les irrationnels algebriques et ça c'est FAUX

elle ne donne pas TOUS les irrationnels algébriques et donc pas mal d'entre eux seraient ignorés

là je me base uniquement sur le fait qu'il existe une methode (là ici sur ce fil je l'ai pas exposé puisque je ne la connaissai pas puisque je l'ai construit cet apres midi dans mon temps libre )

qui en construit d'autres (là je me base sur le fait qu'ils sont construits tous selon un même algorythme et que l'ensemble qui les regroupe est denombrable tout comme l'est l'ensemble des algebriques)

par conséquent: c'est FAUX!

c'est en rapport avec le sujet que je voulais ouvrir mais que j'ai eu raison de ne pas ouvrir car sinon j'aurai été obligé de me dementir comme ici je me dement

ceci dit ma méthode permettant d'en construire d'autres permet de créer des classes dans mes diverses constructions de ces algébriques
car bien que construits selon un même procédé ils se différentient en sous ensembles que l'on peut aisément remarquer et qui fait que le fait que je dise que tel algebrique est racine de tel type de polynome dans ma conjecture reviens à dire cela aussi avec ces classes )
mais cependant ça reste encore une conjecture -même si elle differe de la precedente