espaces vectoriels, notion de famille

[invite4e79ea66]

salut,

Voilà j'ai un DM d'algèbre à faire sur les espaces vectoriels, et il y a un exercice sur les familles (libres et génératrices) où on nous dit grosso-modo que u, v, et w sont des familles libres et on nous demande si la nouvelle famille de vecteurs est libre (ex: U=u+v V=v+w et W=w+u) après, on nous demande de donner une famille de vecteur à la fois libre et génératrice

Mon problème c'est qu'on a pas vu dans le cours ce qu'était une famille, et quand je cherche sur internet, le peu que je comprends, ça n'a rien à voir avec mon exo...

Donc si quelqu'un pouvait m'expliquer la notion de famillle libre et de famille génératrice pour que je puisse comprendre et faire mon exo ça serait super sympa.
Merci
-----

[GuYem]

TU veux qu'on t'explique la notion de familles libres et généractrices ou bien seulement celle de familles ?

Dans le premier cas c'est embétant pour toi, il faut revoir ton cours !

Dans le deuxième cas il ne faut pas t'en faire, une famille c'est un paquet de vecteurs, fini ou infini.

Il y a des distinctions entre familles, ensembles, listes et je ne sais plus quoi, mais rien de vraiment important au moment où on fait de l'algèbre linéaire (je ne sais d'ailleurs pas vraiment à quel moment ces distionctions deviennent imortantes)

[invite4e79ea66]

salut,
en fait dans mon exo j'ai besoin de la notion de familles libres et de familles libres et génératrices (avec si possible un exemple pour que je comprenne)
le problème c'est que dans mon cours on a pas encore abordé la notion de famille (donc de familles libres et génératrices encore moins) et donc je n'ai pas la moindre idée de ce que ça peut être...
merci quand même pour ta réponse

[GuYem]

Dans ce cas-là c'est trés génant comme je t'ai dit. Les notions de familles libres et génératrices sont trés importantes dans l'étude des espaces vectoriels.
Par contre la notion de famille on s'en tape un peu, comme je t'ai dit, c'est juste un paquet de vecteurs.
Fais une recherche sur famille libre et famille génératrice sur n'importe quel site susceptible de parler de math et tu devrais trouver les définitions.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite6b1e2c2e]

Salut !

Famille libre (e_i) : Un ensemble de vecteurs telle qu'il n'existe aucune combinaison linéaire à coefficients non nuls qui est nulle.
Par exemple, les vecteurs de l'espace R^3 e1= (1,0,0) et e2= (0,1,0):
Si a, b sont des rééls tels que a.e1+b.e2= (0,0,0), alors a et b sont nuls. Donc la famille est libre.
Une famille non libre est dite liée dans le cas contraire.
Par exemple, si je rajoute e3= (2,Pi,0), alors
-2.e1-Pi.e2+e3 = (0,0,0).

Une famille (e_i) est dite génératrice de l'espace vectoriel E, si tout vecteur de E s'écrit comme une combinaison linéaire des (e_i).
Ainsi, si je complète e1, e2 définis précédemment avec
e4 = (0,0,1), tout vecteur de R^3 s'écrit v = (x,y,z) = x.e1+ y.e2+z.e4
La famille e1, e2, e4 est génératrice. De plus, il est clair que toute famille contenant ces vecteurs sera aussi génératrice, quitte à mettre des coefficients nuls devant les autres vecteurs de la famille.

Enfin, je te laisse vérifier que e1 et e2 ne forme pas une famille génératrice de R^3.

J'en profite pour signaler la définition d'une base : Base = famille génératrice et famille libre.

__
rvz, insatiable depuis peu

[GuYem]

__
rvz, insatiable depuis peu

Je confirme !

Belle explication en tous cas. Pourquoi tu n'as pas pris e à la place de Pi ? Une préférence pour les lettres grecques ?

[invite6b1e2c2e]

Non, juste pour Pi...

__
rvz

[invite4e79ea66]

salut,
merci beaucoup, je vais pouvoir avancer mon exo c'est super sympa!!!

Belle explication en tous cas.

à 100% d'accord avec toi