Limite d'une homotopie nulle part injective

[Turgon]

Bonjour. Petite question qui me parait évidente visuellement parlant, mais j'ai fichtrement du mal à la démontrer où à la réfuter.

Je considère deux espaces métriques connexes par arc et compact (peut-être toutes les hypothèses ne sont-elles pas utiles, à voir). Je considère ensuite un homotopie ayant la propriété suivante:

- Pour tout il existe tel que , c'est-à-dire que pour [ n'est nulle part injective. Est-il possible alors que le soit, et donc soit-un homéomorphisme sur son image?

Visuellement on a l'impression que non mais mieux vaut se méfier, et les arguments pour le montrer me manquent.

Merci d'avance si vous avez une idée de réponse en tout cas.
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[Universus]

Bonjour,

L'application n'est-elle pas un contre-exemple ?

Eh bien non... Désolé !

Cordialement,

Universus

[Médiat]

Bonjour,

Et ? Mais j'ai peut être mal compris la question.

[Universus]

Bonjour Médiat,

Avec votre application, H(-, t) vient éventuellement à n'avoir qu'un point atteignant le maximum pour t près de 1, ce qui en fait une fonction injective par endroits.

[A voir en vidéo sur Futura]

[Médiat]

Effectivement, j'avais mal lu la question, cela me semblait trop simple

[Suite2]

Ce n'est pas évident si on ne voit pas ce qu'on fait... je pense avoir un contre exemple assez élémentaire.

Déjà je pense qu'il y a une erreur dans la compréhension de l'homotopie (pour moi deux courbes sont homotopes et pas deux ensembles même si je comprend ce que cela veut dire).

On considère une roue de vélo. Autrement dit on pose


Ne pas oublier de dessinner cette courbe (non injective!) Clairement . On ne donne aucune contraite sur l'espace dans lequel doit vivre le graphe de et , ainsi je considère que l'on est dans tout entier. Or il est connu que le disque est simplement connexe. Par suite, (en modifiant continuement le centre du cercle de "gauche"), notre $\gamma_0$ restreinte à est homotope au point complexe . De même restreinte à est homotope au point complexe . En laissant fixe sur , on a contruit une homotopie (vérifier les bords) qui envoit sur le segment .

Il reste un léger détail pour assurer le fait que le contour () est bien homotope à .

L'exemple construit ici prouve que l'on peut avoir une homotopie jamais injective qui envoit sur une courbe injective.

Il manque sans doute des détails, je garde mes brouillons et si besoin j'écrirais avec plus de soins ce qui manque.

[Universus]

Bonsoir,

Pour éclaircir les choses, voici comment je comprends la question. Nous supposons avoir une homotopie avec des espaces suffisamment structurés telle que pour tout , la fonction n'est nulle part injective. Nous nous demandons donc si peut être injective. Notre intuition nous indique que ce n'est pas le cas.

Les espaces et doivent être plutôt structurés pour que cette intuition soit vérifiée. En effet, si doté de la topologie , alors définie par pour et par est continue.

Supposons donc que E et F sont des espaces métriques compacts et supposons qu'il existe une homotopie contredisant notre intuition : n'est nulle part injective pour , mais est injective. Comme indiqué dans le premier message, est un homéomorphisme sur son image, donc quitte à identifier et et à pré-composer chaque par , nous pouvons admettre que est l'inclusion canonique.

Nous dotons l'espace de la topologie compacte-ouverte. Considérant nos hypothèses, cette topologie est métrisable et correspond à la topologie donnée par la métrique . Nos hypothèses impliquent un résultat équivalent pour et pour et en fait, l'application évidente est un homéomorphisme.

L'intérêt de cette dernière remarque tient au fait que la continuité de sur revient à dire que la famille est uniformément équicontinue.

Puisque est essentiellement l'identité, cela montre que pour suffisamment près de 1, disons , il doit exister tel que pour tout , l'égalité implique .

J'ai l'impression qu'il s'agit de la meilleure mise en situation pour attaquer le problème, mais je dois bien admettre qu'il n'est pas clair dans mon esprit si de là, nous pouvons construire un contre-exemple ou donner une preuve de l'intuition de Turgon. Je m'arrête là pour l'instant.

Cordialement,

Universus

[Suite2]

Mon exemple ne suffit pas à prouver que l'on peut avoir une homotopie jamais injective sauf au point "limite" ?

[Tryss]

Mon exemple ne suffit pas à prouver que l'on peut avoir une homotopie jamais injective sauf au point "limite" ?

Pour moi ton exemple est presque partout injectif, sauf en quelques points. La question porte sur une courbe nulle part injective qui se transforme en courbe partout injective à la limite

[Suite2]

Merci de la précision ! Dans ce cas je comprend mieux la question posée initialement! Je m'y remet

[Turgon]

Bonsoir, et merci pour les réponses.

Comme vous avez pu le voir, ce n'est vraiment pas évident.

Effectivement, comme le dit Universus, si on considère une telle homotopie étrange, pour fixé le diamètre des doit tendre vers quand tend vers , sinon on aurait deux suites et de points de avec telle que pour tout mais dont l'écart ne tend pas vers ce qui par passage à la limite donne deux points distincts ayant même image par .

Je pense qu'on peut montrer pour commencer que si l'ensemble des points ayant même image est d'intérieur non vide à partir d'un certain rang, alors il va y avoir un bug, mais ce n'est pas facile, c'est de la topo non triviale...
Dommage, ce résultat m'aurait ouvert bien des portes.
Je continue à chercher! Ne perdons pas espoir

[Universus]

Je pense que la mise en situation que j'ai établie dans mon précédent message suggère un contre-exemple.

Considérons les applications et . Il est aisé de voir que , que et que . Il existe donc une homotopie telle que et et pour .

Considérons maintenant la fonction continue définie par et . Notons que , et que . À l'instar du paragraphe précédent, il y a une homotopie entre et , obtenue en appliquant essentiellement l'homotopie du précédent paragraphe à chaque partie de f'. Il est crucial de remarquer qu'ici, chacune des fonctions n'est nulle part injective.

Une fois ceci remarqué, nous considérons les fonctions valant sur . En appliquant sur chacun de ces petits intervalles l'homotopie accéléré en une durée de , nous obtenons une homotopie de vers nulle part injective. En composant toutes ces homotopies, nous obtenons une homotopie de vers la fonction identité.

Note : il faut quelques précautions en définissant pour qu'elle soit nulle part injective.

[Universus]

Autre note : L'idée en construisant f' est de prendre la fonction « g » correspondant à f sur l'intervalle [0,1/2] et de la transformer en « f » et de façon analogue sur intervalle [1/2,1]. Cela se fait en appliquant successivement l'homotopie (ou une modification de) sur chaque intervalle.

Édition : Laissez tomber... je ne fais que repousser la problème plus loin.... soupir... désolé pour cette lecture inutile...

[Turgon]

Si la "fibre" (image réciproque d'un point) de est d'intérieur non vide, alors, le diamètre de l'intérieur des autres fibres d'intérieur non vide tend vers quand elles tendent vers celle de , sinon en prenant une suite de fibre arbitrairement proche de celle de , par compacité, elle la touchent à la limite et on obtient deux intérieur différents pour la fibre de : contradiction (il faudra sans doute étoffer).

C'est toujours un début...

[Suite2]

Ce n'estpas une question évidente! Mais je pense qu'il y a encore à réfléchir un peu ^^

[Universus]

Bonsoir à tous,

Je pense que l'idée maîtresse de mon « contre-exemple » est bonne, c'est tout simplement que j'ai voulu faire des homotopies trop simples : il faut compliquer avant de simplifier !

Donc débutons avec l'application linéaire par morceaux valant sur [0,1/4], sur [1/4, 3/4] et sur [3/4, 1]. Comme dans un précédent message, l'idée est d'homotopier cela vers « deux petits graphes de ce graphe », soit vers la fonction



Le plus simple pour la suite est de penser en termes des graphes des fonctions. Quand je parle d'une homotopie au-dessus d'un intervalle I entre des fonctions g et h, j'entends que pour , .

Une première homotopie n'opère qu'au-dessus de l'intervalle . Depuis le point (1/2,1/2), nous descendons (en ligne droite) jusqu'à (5/8, 0), puis nous restons à la même hauteur jusqu'au point (3/4,0).

Une seconde homotopie n'opère qu'au-dessus de l'intervalle . Depuis le point (3/4,0), nous restons à la même hauteur jusqu'à (7/8,0), puis nous montrons jusqu'à (1,1).

Une troisième homotopie n'opère qu'au-dessus de l'intervalle . Depuis (5/8,0), nous montons jusqu'à (3/4, 1), puis nous redescendons jusqu'à (7/8,0).

Jusqu'ici, nous avons amener vers qui descend depuis (1/2,1/2) vers (5/8, 0), puis remonte vers (3/4, 1), redescend vers (7/8, 0), puis remonte vers (1,1). Bref, ce qui était un crochet devient une sorte de W.

Une quatrième homotopie n'opère qu'au-dessus de l'intervalle et y amène directement vers .

Une cinquième homotopie n'opère qu'au-dessus de l'intervalle , partant de (1/2,1/2) vers (5/8, 1), puis restant à la même hauteur jusqu'à (3/4, 1).

Une sixième homotopie n'opère qu'au-dessus de l'intervalle . Depuis (3/4, 1), nous descendons vers (7/8, 1/2), puis remontons vers (1,1).

Une dernière homotopie n'opère qu'au-dessus de l'intervalle , partant de (5/8, 1) vers (7/8, 1/2).

À chaque étape, en-dehors de la région où l'homotopie opère, le graphe de la fonction admet au moins deux chemins joignant le haut et le bas du carré (ou, pour les dernières étapes, entre les hauteurs d'intérêt), de sorte que chacune des homotopies considérées n'est nulle part injective.

Puisque le graphe de f' consiste en deux petites copies concaténées du graphe de f, il suffit d'appliquer l'équivalent de l'homotopie (plus rapidement) ci-dessus à chacune des copies. La répétition de l'argument est clair et au final nous obtenons une homotopie nulle part injective entre f et la fonction identité.


Il est à noter que la linéarité par morceaux ou les régions où les fonctions sont constantes est inutile, ne servant qu'à simplifier la description de l'idée. Nous aurions très bien pu faire l'argument avec le genre de fonctions lisses par morceaux de mon précédent message.

Il me semble que la situation dans des contextes plus restreints peut être différente. Par exemple, si , la notion de degré d'une fonction continue peut servir à analyser le problème correspondant. Plus généralement, si E et F sont des variétés topologiques connexes fermées orientables de même dimension, une notion de degré existe aussi. Le degré étant un invariant homotopique, cela peut être utile. Cela change peut-être la donne.

[Universus]

Bonjour,

En fait, avec si est une variété topologique, alors il existe toujours une homotopie telle que pour elle ne soit injective nulle part, bien que soit injective. La raison de base est qu'une variété peut être « carreler » par des cubes de dimension et qu'une telle homotopie existe pour un n-cube. Mon dernier message donne une telle homotopie pour le 1-cube, à savoir un segment fermé ; pour le n-cube, je propose grosso modo d'appliquer cette homotopie le long de chaque « rayon » du n-cube. Une idée similaire pourrait s'appliquer plus généralement pour des espaces métriques pouvant être « pavés » par des « domaines étoilés ».

En fait, le genre de va-et-vient (de plus en plus frénétique, mais de plus en plus faible amplitude) qui a lieu sur le n-cube me rappelle un peu des sortes de protubérances considérées pour l'inversion de la sphère, ou mieux encore, du caractère fractal d'un plongement isométrique de classe du tore plat dans . L'analogie est loin d'être parfaite, puisque ces trois problèmes ont des visées bien différentes, mais l'idée commune est d'user de la liberté gigantesque existante pour déformer une application d'une façon qui nous convienne. D'ailleurs, il est possible que le problème que Turgon considère satisfasse un h-principe permettant par exemple d'établir l'existence pour toute fonction nulle part injective (vérifiant quelques hypothèses auxiliaires) d'une fonction injective et d'une homotopie entre f et f' telle que pour , ne soit jamais nulle part injective.

Ça me semble donner une toute autre splendeur au problème...

[Turgon]

Bravo Universus pour votre contre-exemple et pour l'amplitude que vous lui donnez. Ça donne envie d'aller plus loin