Petite question sur les transvections

[FAN FAN]

Bonjour,
Je recherche le lien entre ces deux définitions des transvections:

1ére définition: Endomorphisme transvection.
Soit H un hyperplan du K-espace vectoriel E et phi une forme linéaire de noyau H.
Une transvection d'hyperplan H est un endomorphisme de E de la forme x -> x + phi(x).a ou a € H.

2e définition: Transvection d'une matrice.
On ajoute kL_i à L_j (L_i, L_j = lignes correspondantes de la matrice).
Il y a forcement un lien entre les deux définitions. Peut-on préciser lequel ?

Merci pour réponse.
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[Universus]

Bonjour,

Je pense que le mieux est de généraliser la première définition de la façon suivante.

Soient et deux -espaces vectoriels, un sous-espace et une application linéaire ayant pour noyau. Une transvection de sous-espace est un endomorphisme tel que pour un certain .

La première définition correspond au cas .

Pour la seconde, considérons l'espace vectoriel des matrices nxn à coefficients dans . Pour , nous prenons . Ainsi, l'application qui à associe la k-ième ligne de , soit un élément de F, a pour noyau l'ensemble des matrices ayant le vecteur nul pour k-ième ligne. La j-ième ligne de M est donnée par l'application . Si , alors la matrice définie comme étant partout nulle, exceptée sa j-ième ligne qui vaut , est élément de . Ainsi, est une transvection de sous-espace H qui agit en particulier sur la matrice M de la façon indiquée dans la seconde définition, à savoir :

« Étant donné une matrice , lui ajouter fois sa j-ième ligne à sa k-ième ligne. »

Si nous souhaitons faire un lien entre les deux définitions en ne fixant pas la matrice M, il faut considérer la « transvection » , de sorte que pour chaque matrice, nous changeons aussi le vecteur . Bref, l'instruction « Ajouter fois la j-ième ligne d'une matrice à sa k-ième ligne » signifie considérer l'association .

[FAN FAN]

Bonjour,

Je pense que le mieux est de généraliser la première définition de la façon suivante.

Soient et deux -espaces vectoriels, un sous-espace et une application linéaire ayant pour noyau. Une transvection de sous-espace est un endomorphisme tel que pour un certain .

La première définition correspond au cas .

Pour la seconde, considérons l'espace vectoriel des matrices nxn à coefficients dans . Pour , nous prenons . Ainsi, l'application qui à associe la k-ième ligne de , soit un élément de F, a pour noyau l'ensemble des matrices ayant le vecteur nul pour k-ième ligne. La j-ième ligne de M est donnée par l'application . Si , alors la matrice définie comme étant partout nulle, exceptée sa j-ième ligne qui vaut , est élément de . Ainsi, est une transvection de sous-espace H qui agit en particulier sur la matrice M de la façon indiquée dans la seconde définition, à savoir :

« Étant donné une matrice , lui ajouter fois sa j-ième ligne à sa k-ième ligne. »

Si nous souhaitons faire un lien entre les deux définitions en ne fixant pas la matrice M, il faut considérer la « transvection » , de sorte que pour chaque matrice, nous changeons aussi le vecteur . Bref, l'instruction « Ajouter fois la j-ième ligne d'une matrice à sa k-ième ligne » signifie considérer l'association .

Merci pour votre réponse.
Mais je ne comprends pas votre définition (sur-lignée en rouge):
En effet dans cette définition phi(x) n'est plus un scalaire mais un vecteur de F. En conséquence que veut dire phi(x)a, produit de deux vecteurs, l'un dans F, l'autre dans E ?

[Universus]

Bonjour,

En effet, quelle erreur ! Le produit scalaire entre un élément de F (mon ) et un élément de E (ici ) n'est pas défini, donc non ce n'est pas la façon d'ajuster la définition...

Je vais y penser, mais mille excuses !

[A voir en vidéo sur Futura]

[Universus]

Bon, notons que la première définition s'exprime aussi comme suit. Soient un -espace vectoriel, un sous-espace de et un supplémentaire. Nous avons ainsi une projection de noyau . Soit une application linéaire . Une transvection d'hyperplan est une application définie par .

Généralisons cette notion comme suit. Soient un -espace vectoriel, deux sous-espaces de et un supplémentaire de . Nous avons ainsi une projection de noyau . Soit une application linéaire . Une transvection de sous-espace selon la décomposition est une application définie par . Le cas précédent correspond bien entendu à .

Considérons maintenant , le sous-espace des matrices n'ayant possiblement que la k-ième ligne de non nulle, le sous-espace des matrices n'ayant possiblement que la j-ième ligne de non nulle et le sous-espace des matrices ayant leur j-ième ligne nulle. Notons que via l'application ; prenons comme fois l'application dans l'isomorphisme précédent. Alors l'instruction « ajouter fois la j-ième ligne d'une matrice à sa k-ième ligne » correspond à la transvection de selon .

[FAN FAN]

Excuse moi pour cette réponse tardive.
Voilà un lien qui précise bien ce sujet:
http://jrbelliard.perso.math.cnrs.fr/alggendef.pdf (Voir page 21)

[Universus]

Bonjour,

Après survol, je n'ai trouvé nulle part dans ces notes un traitement faisant vraiment le pont entre les deux définitions données dans le message initial. Tant mieux cependant si ces notes éclaircissent vos pensées sur ce sujet.