Aspect géométrique d'une substitution d'une intégrale

[The_Anonymous]

Bonsoir =D

Avec la rentrée, j'ai des exercices de révision et notamment à propos de la formule de substitution d'une intégrale (pour on a ).

La premier partie de mon exercice consiste à calculer avec le changement de variable (puis ensuite aussi directement grâce à la formule ).

Jusque là pas de problème, j'y suis bien arrivé (résultat vérifié qui fait bien ).

Mais par la suite on me demande de calculer l'aire d'un rectangle de base et de hauteur pour .

Je trouve que la base a logiquement une longueur de et la hauteur de que je suppose valoir car la consigne une ligne en dessus précise , mais j'avoue ne pas être certain. Pour moi l'aire vaudrait donc .

Puis l'énoncé indique qu'il faut calculer les image de cette base et du point par la substitution .

C'est à cette étape que je me perds... Je ne comprends pas comment utiliser la substitution sachant qu'on a que des des et des ..
Faut-il utiliser la substitution comme ? Je ne sais pas vraiment trop où aller..

(Après ceci, il me faut encore calculer l'aire du rectangle dont la base est l'image de la base et la hauteur , puis montrer qu'il existe un choix de tel que et finalement conclure que les sommes de Riemann premettant de calculer et celles permettant de calculer (expression que l'on obtient après avoir exécuter la substitution dans la toute première partie) convergent vers la même valeur.
J'imagine bien qu'on a un rapport entre et et les deux expressions une avant l'autre après la substitution, mais le problème est que je ne vois pas trop qu'est-ce que l'on obtient avec l'aire de et que je ne comprends pas comment utiliser la substitution pour arriver à ).

Merci beaucoup d'avance pour votre aide !

Cordialement
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[gg0]

Bonjour.

Tel que je comprends ton énoncé, il s'agirait de retracer ton rectangle dans un repère (O,z,y), ou peut-être simplement de retrouver sur l'axe Oz ce qu'on avait sur l'axe Ox.
j'imagine que la suite éclaircira ce que l'auteur du sujet avait en tête (sans doute une copie d'une preuve de la formule de changement de variable dans l'intégrale de Riemann).

Cordialement.

[The_Anonymous]

Bonjour,

J'ai essayé de suivre la méthode "retrouver sur l'axe Oz ce qu'on avait sur l'axe Ox", et voilà ce que je trouve :

Si les points , et se trouvent sur l'axe Ox, alors sur l'axe Oz, sachant que le point devient , devient et est du coup un point dans l'ensemble .

Pour la suite, j'essaie donc de calculer l'aire (cf. message #1 pour définition du rectangle), et je trouve la base qui vaut et la hauteur donnée de , donc .

Jusque là tout me parait correct bien que les résultats utilisés pour la suite me semble étranges.

Je pose donc et j'obtiens .

Je ne vois absolument pas en quoi ce résultat montre quelque chose en particulier, je n'arrive donc pas à donner de conclusion (cf. message #1)..

Est-ce que mes résultats intermédiaires sont corrects ou alors ne vois-je juste pas la signification de la valeur de trouvée pour donner une conclusion ?

Merci de votre réponse!

Cordialement

[gg0]

Il y avait un problème : b ne dépendait quasiment pas de a pour epsilon proche de 0. j'ai vu ce qui pêche : tu as pris b² à la place de b dans A'.

Cordialement.

[A voir en vidéo sur Futura]

[PlaneteF]

Bonjour,

(puis ensuite aussi directement grâce à la formule ).

Dans le cas le plus général, il y a une valeur absolue dans le résultat -->

Cdt

[The_Anonymous]

Il y avait un problème : b ne dépendait quasiment pas de a pour epsilon proche de 0. j'ai vu ce qui pêche : tu as pris b² à la place de b dans A'.

Cordialement.

Je vois bien que si on fait tendre epsilon vers 0 on aura a=b mais je vois pas trop là où vous voulez en venir.. Où était le problème ?

Sinon, quand vous dites plutôt que , je comprends que la hauteur du rectangle d'aire serait alors de et non pas de , ce qui était quand même indiquer dans l'énoncé (et ce ne serait pas la première fois qu'il serait faux ). Dans ce cas j'obtiens (je pose pour raccourcir un peu).

Après simplification j'arrive à , ce qui me donne comme solutions pour b si et , , qui si je développe m vaut .

Mais à nouveau, je ne sais pas trop quoi faire de cette grosse réponse, je ne vois pas comment simplifier ou comment interpréter ça...

Merci de m'éclairer

Bonjour,



Dans le cas le plus général, il y a une valeur absolue dans le résultat -->

Cdt

Bonjour

Il me semblait bien ! Je me rappelle avoir travailler sur cette égalité et je me souvenais de valeur absolue mais je ne savais plus trop où, merci pour l'info

[The_Anonymous]

Après simplification j'arrive à , ce qui me donne comme solutions pour b si et , , qui si je développe m vaut .

Mais à nouveau, je ne sais pas trop quoi faire de cette grosse réponse, je ne vois pas comment simplifier ou comment interpréter ça...

Merci de m'éclairer

"Bump" ^^

Je voulais savoir si quelqu'un avait des nouvelles à propos de mon problème, je reste coincé sur cette dernière égalité, j'ai trouvé aucun moyen de simplifier et donc je ne sais toujours pas comment donner une conclusion crédible.

Merci d'avance de répondre

Cordialement

[gg0]

Bonjour.

Il me semble que tu as ce qu'il te faut, si tu justifies qu'une de ces deux valeurs est bien comprise entre et . Car on te demande seulement de justifier qu'un choix de permet d'avoir .
La suite est simple : on construit les sommes de Darboux en prenant systématiquement la valeur de qui convient, et on a par construction l'égalité des sommes, donc des limites.

Je n'ai pas eu le temps de regarder de façon détaillée, mais comme seule l'existence d'un convenable suffisait, il n'était probablement même pas nécessaire de chercher les racines. Prouver que ton polynôme d'inconnue change de signe entre et justifie l'existence d'une valeur convenable.

Cordialement.