Bonjour, je bloque sur la matrice suivante B=0.5* A. A étant
0 0 1
1 0 1
0 1 0
la question est de justifier la limite de B^n lorsque n tend vers l'infini
je bloque un peu, et je ne trouve pas l'astuce. je trouve que par exemple: A^3=A+I . J'ai l'impression que ca peut me donner la solution. Qu'en pensez vous? Merci
En principe avant de parler de convergence il faudrait se donner une norme (ou une topologie). Si ce n'est pas précisé dans l'énoncé, tu as intérêt à choisir la norme qui est la plus facile à calculer.
endomorphisme de R^3 ...
comme ça à première vue je tenterais en regardant la décomposition en valeur propre de B:
on a la propriété que, pour S la matrice contenant les vecteurs propres de la matrice B et L la matrice avec les valeurs propres sur la diagonale
Tu as donc A^4 = A^3 * A = (A+I)*A=A^2+A. Tu dois pouvoir t'en servir pour faire une récurrence pour trouver A^n en fonction de A^2, A et I, et ensuite tu substitues A=2B évidemment.
J'oublierais la piste des valeurs propres, il y a en 1 réelle et 2 complexes et elles ont l'air vraiment compliquées.
Cherche une récurrence et calculant B², B^3...si A^3=A+I3 penses à la formule du binome et tu arrivera
Sinon une division enclidienne de X^k sur le polynome caractéristique de B (qui est annulateur de B d'apres Cayley Hamilton), tu dégage le reste de la division (qui sera de degré <= 2) et question résolue...
sinon une diagonale semblable à B peut résoudre le probleme...
. Cordialement, S.
