Nombre de triangles dans un polygone

[moebius2]

Bonjour,

Je cherche à connaitre le nombre de triangles contenus dans un polygone convexe à x cotés et dont au maximum 2 diagonales sont concourantes.
J'impose une autre condition:je veux que ces triangles aient pour cotés les diagonales du polygone.

J'ai trouvé ceci :
https://cs.uwaterloo.ca/journals/JIS...wtriangle.html
http://oeis.org/A006600

qui dénombre l'ensemble des triangles, mais j'aimerai maintenant retirer les triangles dont un coté au moins est un coté du polygone pour trouver le nombre de triangles que je cherche.

Seulement, ça ne me parait pas si facile que ça...
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[Amanuensis]

Peut-être me goure-je, mais il me semble que c'est n/3 fois le nombre de partitions de n-6 en trois entiers, pour n>=6, et 0 sinon. (Ou encore le nombre de partitions de n-3 en trois entiers non nuls...)

Le nombre de partitions d'un entier en trois entiers n'a pas de formule close, il me semble.

[Médiat]

Bonjour moebius2 ,

Pouvez-vous confirmer/infirmer que pour n=5, il y a 15 triangles répondant à la question ?

[Amanuensis]

Ma compréhension de la question est que la réponse est 2 pour n=6, à savoir, en notant les sommets ABCDEF, les triangles ACE et BDF.

[A voir en vidéo sur Futura]

[moebius2]

Pour n=5, j'aurai dit 8 triangles non ?

[moebius2]

Médiat, je pense que vous avez également compté les triangles dont un coté au moins est un coté du polygone. Me trompes-je ?

[Amanuensis]

Pour n=5, j'aurai dit 8 triangles non ?

Lesquels? (Histoire d'aider à comprendre la question.)

[Médiat]

Médiat, je pense que vous avez également compté les triangles dont un coté au moins est un coté du polygone. Me trompes-je ?

Non, mais je me suis trompé néanmoins, j'en compte 10 qui n'utilisent pas les côtés du pentagone et 25 qui en utilisent au moins 1 (20 + 5)

[Amanuensis]

OK, je crois comprendre la question maintenant.

Le calcul que je donnais se limitait au cas de "trois diagonales". Comme le résultat n'est pas une forme fermée, peut-on espérer que le total, y compris les autres cas (plus complexes à étudier), donnera une forme fermée?

[moebius2]

Pour n=5, je dénombre les triangles suivants (voir figure en PJ):
-AFJ
-AGD
-ACI
-BGF
-BHE
-BDJ
-CHG
-CEF
-DIH
-EJI




Je m'étais également trompé puisque j'en trouve maintenant 10. Mais au moins, on est d'accord.

[moebius2]

Pour n=6, j'obtiens ça:

AGR
ARQ
AGQ
AHS
ACT
ATP
ADO
ACL
ALE
ASE
AHE
ACP
ACE

BIH
BHG
BIG
BJU
BKE
BJF
BDR
BDS
BSR
BUF
BNF
BND
BEQ
BDF

CKI
CKJ
CJI
CLT
CMF
CEU
CEP
CEH
CUH
CFG

DML
DMK
DLK
DNS
DFR
DFT
DFJ
DTJ

EON
EOM
ENM
EPU
ESL

FQP
FQO
FPO
FRT
FUN

STU

Soit 56 triangles, si je n'ai pas fait d'erreur !

[moebius2]

Est ce que quelqu'un a une idée ? Je pense qu'il doit y avoir moyen d'exprimer le nombre de triangle sous la forme d'une somme de combinaisons.

Est ce que quelqu'un peut déjà m'infirmer ou me confirmer le résultat que je trouve pour n=6 ?

[moebius2]

Je me permets un petit up.

[ansset]

j'ai parcouru rapidement,
mais dans ton premier mess tu parlais de contraintes ( types diagonales concourantes ) que l'on ne retrouve pas sur tes exemples.

[ansset]

pardon, mal lu l'énoncé.

[ansset]

il me semble que les triangles ne viennent que des sommets.
en oubliant les centraux provisoirement.
auquel cas .
tu as N sommets
donc N-2+(N-1)(N-3)-1 triangles avec d'autres sommets.
soit pour 5
3+4*2-1=10
et pour 6
4+5*3-1=18 , ce qui est faux, puisqu'il manque le triangle du milieu.
j'en compte 19 au total et pas 56 !!
le triangle central ( ou les ) n'existent que si n est pair, j'ai l'impression.
ceux là me pose problème !

[ansset]

il me semble qu'il faut faut plus de connaissance sur la structure générale du polygone pour en tirer des conclusions sur les triangles "intérieurs" s'ils existent.

[moebius2]

j'en compte 19 au total et pas 56 !!

Je n'ai pourtant pas inventé les autres triangles

[ansset]

tu as raison, je n'ai pas compté les doubles ou triples triangles tj issus des sommets.
sorry.
mais ceux là , on peut les déduire, contrairement au triangles centraux qui me pose tj pb !

[moebius2]

tu as raison, je n'ai pas compté les doubles ou triples triangles tj issus des sommets.
sorry.
mais ceux là , on peut les déduire,

Comment ?

contrairement au triangles centraux qui me pose tj pb !

En les comptant à la main, je trouve:
- pour n=5 --> 0
- pour n=6 --> 1
- pour n=7 --> 7
- pour n=8 --> 28 (j'espère ne pas me tromper pour celui là)

Du coup, je me dis, pour n>5, on a peut être nombre de triangles intérieurs = C(n,i) avec i=0 pour n=5, 1 pour n=6, 2 pour n=7...

Ce qui donne C(6,0)=1, C(7,1)=7, C(8,2)=28, C(9,3)=84 etc

Bon je reconnais que je sors ça de nul part et que mon raisonnement est très bancal !

[ansset]

on devrait pouvoir les retrouver, les fameux centraux.
j'y reviens demain.
cordialement.

[moebius2]

Ok, merci.

[moebius2]

Petite remontée.

[ansset]

pour tout t'avouer je sèche tj sur les centraux.
les extérieurs ne posent aucun soucis.

[moebius2]

Comment trouver les extérieurs déjà ? Avec N-2+(N-1)(N-3)-1 il en manquait quelques uns.