Un probleme de probabilites

[g_h]

Salut a tous,

Desole pour le titre un peu generique, difficile de trouver un titre precis et concis!
(je m'excuse d'avance pour les accents, je suis sur un clavier qwerty)


Imaginons un ensemble
On choisit au hasard : n'ayant aucun point fixe (derangement)

On definit ensuite un sous-ensemble de :

Ensuite, on tire avec remise au hasard elements de (on peut tres bien avoir )
Ce nombre est une donnee du probleme.

On va noter ces tirages de la sorte:


Je veux calculer la probabilite qu'il existe au moins un tel que apparaisse fois ou plus dans l'ecriture


ou est aussi une donnee du probleme


En termes moins mathematiques:
On a un ensemble S. Pour chaque element de S, on lui associe un autre element de S au hasard (mais pas lui meme). Cette association est a sens unique: si a_1 est associe a a_3, a_3 peut tres bien etre associe a a_4 et pas a a_1. Il est possible que tous les a_i (sauf a_1) soient associes a a_1
Ensuite on tire au hasard des a_i avec remise. Puis on ecrit la liste (avec repetitions) des a_i et de leurs associes. Et on se demande quelle est la probabilites qu'au moins un des a_i apparaisse C fois ou plus dans cette liste


J'ai l'habitude des problemes de denombrement / probabilites vraiment tordus, mais je ne sais vraiment pas par ou commencer celui la. Le fait que f puisse etre n'importe quel derangement semble rendre la tache tres ardue (si f etait un cycle ou un produit de cycles, cela apparait beaucoup plus simple)
Je ne demande pas de chercher une reponse (je ne sais pas si une solution raisonnable existe), mais si vous avez une intuition de comment attaquer le probleme, je pourrais essayer de mon cote!

Merci!

PS: pour ceux qui se demandent, c'est une reformulation d'un probleme de contention de ressources dans un reseau de processeurs (informatiques)
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[Amanuensis]

C'est un exercice?

[Médiat]

Bonjour,

Il y a plusieurs façons de comprendre l'énoncé :

En notant , la probabilité de tirer lors d'un tirage est , pour une fonction donnée, si votre réponse doit inclure le tirage au sort de , cela change beaucoup les choses, puisque doit être remplacé par une espérance, elle-même à calculer.

[g_h]

Non, ce n'est pas un exercice, juste quelque chose que j'aimerais resoudre (parce que les probas / denombrement c'est un bon passe temps et parce que c'est utile pour un projet personnel - meme si je pourrais m'en tirer plus facilement avec une simulation numerique)

Mediat: oui, je dois prendre en compte le tirage au sort de f. Par contre meme si j'ai l'esperance du "nombre de preimages par f d'un element de S" (instinctivement je dirais que ca fait 1, mais je dois pouvoir calculer ca), j'ai du mal a me convaincre que je peux continuer

[A voir en vidéo sur Futura]

[Médiat]

(instinctivement je dirais que ca fait 1, mais je dois pouvoir calculer ca)

Oui , ce qui change beaucoup de choses, mais heureusement les simplifie.

[minushabens]

annulé -----------