Spectre

[hanlover]

Bonsoir,
Pourquoi svp si l'intersection de spectres de deux matrices A et B de Mn(C) est différente du vide alors les polynômes caractéristiques de A et B n'ont pas de racines dans C ???
Merci
-----

[Victor.S]

Désolé mais je n'ai pas compris.
Si je prends A la matrice nulle et B la matrice identité, l'intersection des spectres est vide.
Et des polynômes sans racine dans C c'est compliqué quand ils sont à coefficients dans C, avec le théorème fondamental de l'algèbre... ^^

[hanlover]

Si je prends A la matrice nulle et B la matrice identité, l'intersection des spectres est vide.

Merci mais j'ai dit que l'intersection est non vide ^^

[Victor.S]

A = B, l'intersection est non vide, le polynôme est dans C[X] puisque A et B sont dans Mn(C), donc par le théorème fondamental de l'algèbre il admet une racine dans C.

[A voir en vidéo sur Futura]

[hanlover]

oui c'est vrai . Je suis désolée j'ai oublié de préciser qu'il n'ont pas de racine commune dans C

[Victor.S]

Reviens à la définition du spectre. ^^ C'est l'ensemble des valeurs propres. Les valeurs propres sont les racines du polynôme caractéristique.
Pourquoi ? Parce que si x est valeur propre alors il existe un vecteur propre associé, donc un vecteur dans le sous espace propre, donc dans Ker(A-xI)
Mais donc A-xI n'est pas inversible, puisqu'on peut l'annuler, donc det(A-xI)=0. Or det(A-XI) est le polynôme caractéristique de A, par définition (ou det(XI-A) selon les définitions mais ça revient au même point de vue racine). Tu peux faire le sens inverse : si det(A-xI)=0 alors le Ker n'est pas vide donc il y a un vecteur propre donc c'est une valeur propre.

[hanlover]

Oui j'ai bien compris ^_^
Vraiment merci beaucoup