f injective surjective ?

[moundir56]

Bonjour,

Un exercice que j'ai résolu. Merci de me corriger

Soit la fonction f suivante définie dans R:



a) montrer que f est injective
b) f est elle surjective

Remarque : Domaine de définition est R. f est donc une application

a) f est injective:



je distingue 2 cas:
pour :




pour pour : même démonstration et on obtient

donc f est injective

b) surjective
soit on resoud l'équation avec x inconnue




pour :


donc pour ce cas f n'est pas surjective car pour y=-1 , y n'a pas d' antecedent

pour :


là aussi pour y=1, y n'a pas d' antécédent

donc f n'est pas surjective


Cordialement
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[gg0]

Bonjour.

le fait de distinguer des cas ne t'aide pas beaucoup, car il te fait raisonner de travers :
* injectivité : x<0 ne donne pas le signe de x'
* surjectivité : " pour ce cas f n'est pas surjective" ne veut rien dire ! d'ailleurs ru n'as pas regardé quels y sont atteint. Rappel : il y a une seule fonction.

Globalement, il pourrait être bien plus intéressant d'étudier la fonction f.

Cordialement.

[moundir56]

merci pour la réponse

il est demandé de resoudre l'exercice sans recourir à l'etude de variation de la fonction

cdt

[polf]

Pour a) injective ET pour b) surjective
Il faut au préalable dire que y est du signe de x
donc que seuls x et x' de même signe ont à être étudiés pour injective
et pour surjective on sépare bien des cas x et y de même signe

[A voir en vidéo sur Futura]

[PlaneteF]

Bonjour,

Pour l'injectivité, si l'on veut simplifier la rédaction et ne pas distinguer de cas, on peut remarquer que si et sont de même signe, alors


Cordialement

[moundir56]

merci pour vos réponses

pour l'injectivité, j'ai omis de mentionner que x et x' sont necessairement du même signe puisque f(x)= y est du même signe que que x.
Donc la démonstration que j'ai faite pour l'injectivité tient toujours. Non ?

pour la surjectivité, je refais mes calculs en distinguant les 2 cas comme proposé et où x et y sont nécessairement du même signe

cas : et

soit y positif on resoud l'equation



et pour y#1 on a

pour y=1, l'equation devient , impossible donc y=1 n'a pas d'antecedent et f n'est pas surjective

et on peut s'arreter ici pas la peine d'etudier le second cas

cdt