Négligeabilité

[YuuX]

Bonjour tout le monde !

Étant en MPSI, je cherche à avoir une information supplémentaire concernant quelques lignes de mon cahier de mathématiques ! Celles-ci sont les suivantes :

"
Lim xe^(x) = 0

Donc lim x/(1/e^(x)) = 0

(A noter que les limites sont en moins l'infini)

Ainsi x est négligeable par rapport à (1/e^(x)) au voisinage de moins l'infini.
"
La limite je la comprends et je la connais, le problème ne vient pas de là car si je fais :

Lim e^(x)/(1/x) = 0

Donc on peut aussi dire que e^(x) est négligeable par rapport à 1/x au voisinage de moins l'infini ?
Mais si c'est le cas, c'est pas très logique, les deux seront alors négligeable entre leurs inverse ? La negligeabilite étant transitive, on pourrait alors poser que :

Lim e^(x) * e^(x) = 0. (En moins l'infini) ?

Merci en tout cas de votre réponse, (je vous avouerai qu'en rédigeant ce message je me rends compte que c'est finalement possible mais bon je le poste quand même !)
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[gg0]

Bonjour.

Je ne comprends pas ce que tu racontes à la fin, probablement as-tu mélangé. Tu devrais faire un vrai calcul.
En tout cas, si f et g sont des fonctions non nulles au voisinage de a et si f(x)g(x) tend vers 0 en a, alors chacune des deux fonctions est négligeable par rapport à l'inverse de l'autre. C'est une conséquence immédiate de la définition de négligeable.

A noter : Lim e^(x) * e^(x) = 0. (En moins l'infini) est parfaitement vrai (0 fois 0 = 0).

Si tu as encore des doutes, rédiges vraiment ce que tu as caché sous " La negligeabilite étant transitive".

Cordialement.

[YuuX]

Tout d'abord merci de ta réponse !

La transitivité de la negligeabilité peut s'écrire comme ça (littéralement) :

Si f est négligeable au voisinage de a par rapport à g
Si g est négligeable au voisinage de a par rapport à h

Alors f est négligeable au voisinage de a par rapport à h

[gg0]

Oui, je connais,


mais ça ne s'applique pas ici. Essaie : Qui sont les fonctions f, g et h ?

NB : je ne t'avais pas demandé de citer la définition, mais de rédiger la preuve qui te semblait évidente et que tu remplaçais par une phrase qui ne parle pas de la situation.

Cordialement.

[A voir en vidéo sur Futura]

[YuuX]

C'est bon j'ai compris ! Je suis bête ..
Juste une dernière petite question,

Je ne comprends pas vraiment l'interprétation de par exemple :
o
a € I (si a est un point de I mais pas une extrémité de I, d'après la définition) si j'ai bien compris cela veut dire que a € I mais pas aux deux extrémités comprises dans I ? Par exemple si I=[1;7]. Cela veut dire que a€I mais a est différent de 1 et 7 ?

De même pour :
_
a € I (a est un point de I ou une extrémité de I) donc dans notre exemple précédent, a peut être égal à 2 et 7 .

Enfin :
_
a € I U {+-8} (a est un point de I ou une extrémité, éventuellement infinie de I) cela marcherait alors pour I=[2 ; +8[. Et donc que a pourrait être égal à 2 mais aussi un nombre infini.


Je sais que mes raisonnement sont sûrement faux mais justement je ne comprends pas ce que cela pourrait être d'autre ..


Cordialement

P.S.: € = appartient
Et au dessus de I il y a respectivement un "o" , un "_" et enfin un autre "_"
Désolé pour la lisibilité assez difficile

[gg0]

"Je suis bête .. " Non, tu as fait une erreur qu'on fait tous quand on va vite : imaginer le résultat d'un calcul sans le faire.

Pour les notations dont tu parles, il faudrait une définition générale de l'intérieur ou la fermeture d'un ensemble. L'intérieur d'un sous-ensemble A est le plus grand ouvert contenu dans A (Une partie O est un ouvert de R si chaque point de O appartient à un intervalle ouvert contenu dans O; un intervalle ouvert est ouvert, une réunion d'intervalles ouverts aussi; l'ensemble vide et R sont des ouverts) La fermeture de A est le plus petit fermé contenant A (un ensemble est fermé si son complémentaire est ouvert; un intervalle fermé est fermé; l'ensemble vide et R sont fermés. Une réunion finie de fermés est un fermé).

Dans le cas où A est un intervalle, c'est facile. Pour avoir un ouvert on ouvre les bornes; pour un fermé on les ferme.

Reviens si tu n'arrives pas à conclure seul (je ne réponds pas à tes exemples, tu dois pouvoir le faire seul.

Cordialement.

[YuuX]

D'accord, je ne vois pas tellement le rapport ..
Je tente quand même ma chance .. Si I=[1 ; 16]
o
Si a€ I alors a=]1 ; 16[
_
Si a€ I alors a= I
_
Si a€ I U {+8} alors a=[1;+8[ si I=[1;+8[

Je sens que c'est faux ..

[gg0]

ce qui est faux c'est de confondre € et =.

De plus ne change pas si on lui rajoute un autre point. C'est l'ensemble dont on parle qui change. J'ai l'impression que tu cherches des choses compliquée. Il n'y a pas de raison que des notations élémentaires soient compliquées.

Donc contente-toi de comprendre ce que sont et Intérieur de I (je ne me souviens pas comment l'écrire en LaTeX).

Cordialement.

[YuuX]

D'accord merci bien !