Formule dérivation

[titi07]

Bonsoir,
J'ai trouvé au cours de mon travail une formule, alors j'ai essayé de la démontrer mais aucun résultat, donc si vous pourriez m'aider ça me sera très utile:
Si on a

alors


Merci à l'avance de votre aide
Cordialement
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[inviteea028771]

que sont les ? La dérivée j-ème de la fonction ?

[titi07]

Bonjour,
Oui c'est vous avez dit, ce sont les dérivées des fonctions

[Médiat]

Bonjour,

Cette formule paraît bizarre, seule f apparaît à gauche et ses dérivées apparaissent à droite, poser f=1, pour voir ce qui se passe

[A voir en vidéo sur Futura]

[titi07]

Bonjour,
Pour ça marche, et même pour d'autre exemples ça marche aussi, mais reste à faire la vraie démonstration, chose que j'y arrive pas
Cordialement.

[inviteea028771]

Bonjour,

Cette formule paraît bizarre, seule f apparaît à gauche et ses dérivées apparaissent à droite, poser f=1, pour voir ce qui se passe

En utilisant la formule de Leibnitz, on a :


en posant ensuite l=i+k, on obtient


Puis en inversant les sommes



Et pour , ce qui prouve le résultat

[titi07]

Bonjour,
Merci infiniment pour votre aide, j'ai essayé beaucoup de méthodes mais j'ai pas réussi à le faire, encore une fois merci
Une autre question me vient à l'esprit c'est comment on a mis en place cette formule, je veux dire, vous vous avez pris la formule qu'on nous a donné et vous avez montré que c'est égale à mais si on veut l'inverse i.e de on arrive à la formule? mais sans faire le chemin inverse de votre démonstration parce que c'est difficile de penser à introduire la somme alternée des coefficients binomiaux??

Encore une fois bravo et merci
Cordialement

[inviteea028771]

Pour le "chemin inverse", je pense qu'il faut voir comme une partie du développement de

On a alors



Puis, on sait que l'on veut relier cette quantité aux , donc on développe :



Si on appelle l=k+i, cette expression devient



On voit que ça commence à ressembler à l'expression du dessus. On a d'ailleurs immédiatement que



Après reste à calculer les : c'est un système linéaire échelonné, mais il est dimanche et j'ai la flemme de le résoudre