@modérateurs : serait-il possible de clôturer l'autre sujet, pour plus de clarté? (j'ai tout rassemblé et corrigé ici)
Bonjour,
j'aimerais poursuivre un raisonnement lié à la factorisation d'un entier naturel.
Mais j'aimerais d'abord obtenir l'aval de la communauté pour la première étape du raisonnement.
1. Définition du problème
Le théorème de l'arithmétique dit que tout entier naturel peut s'écrire comme le produit de nombres premiers (élevés à la bonne puissance ou bien factorisés d'autant, peu importe).
Je m'intéresse ici à un cas particulier beaucoup plus simple :
On nous donne l'aire entière d'un rectangle, et on veut en trouver les côtés.
autrement dit, le postulat de départ est que le nombre qu'on veut factoriser, au sens du théorème ci-dessus, est un co-prime, càd un produit de deux nombres premiers, il n'a donc que deux facteurs. (on néglige les effets de bord de type "un carré est un co-prime", on considère le cas usuel N=pq avec p > q >= 2)
Dans ce sens donc, Si on nous donne la valeur d'une aire entière () et qu'on nous dit que c'est celle d'un rectangle, il n'y a qu'une seule solution pour le choix des côtés.
sur base de ce raisonnement géométrique, par simple construction, si N=pq, où p et q sont premiers avec p>q, alors, on peut trouver leur valeur moyenne (on définit B=Moyenne=(p+q)/2, où (p+q) est pair) et l'écart par rapport à laquelle les deux facteurs p et q se trouvent (on définit K=Ecart=(p-q)/2 où (p-q) est pair)
A et B sont donc des entiers naturels, tout comme p et q. (B > K)
on peut exprimer p et q en fonction de la moyenne et de l'écart de manière naturelle : p = moyenne + ecart = B+ K, et q = B - K.
Comme N=pq = (B+K)(B-K)
Alors
N = B²-K², et ce de manière unique!
En tout généralité, rien ne nous empêche d'exprimer N comme
A ce stade, j'en suis donc à
"trouver les côtés entiers d'un rectangle d'aire entière (co-prime) donnée"
revient à
"trouver deux carrés dont la différence des aires est l'aire entière (co-prime) donnée"
Il est évident que ce problème est lié
- en application, à la cryptographie à clé publique
- au niveau fondamental, au problème P=NP ainsi qu'à l'hypothèse de Riemann pour la distribution des nombres premiers, comme montré ci-dessous.
2. Passage à la limite continue
Je propose ici un interlude analytique, en passant à la limite continue.
soit N=pq un nombre co-prime (entier), avec p et q facteurs premiers de N.
Soit x un réel strictement positif.
on définit y(x) = N/x de R dans R donc.
y(x) aura une valeur non-entière PARTOUT sauf en x=p et x=q, x = N et x = 1. (2x2 solutions symétriques (par associativité) : 2 recherchées et deux triviales).
(cela suggère déjà la possibilité d'une origine quadratique du problème (alors que la fonction y(x) de l'est pas) (2 solutions))
(oui, j'ai dit que l'associativité avait une origine quadratique? vraiment? erreur de raisonnement ou est-ce correct de le dire?)
de même, par N = B²-K², on définit
proposition: l'intersection de ces deux courbes est au point
En effet, on voit qu'en faisant
3. la fractionnalisation algébrique comme opération géométrique?
photo graphe.jpg
La photo ci-dessus montre la représentation graphique de ce qui a été dit jusqu'à présent.
Le problème étant symétrique, on se limite au domaine
Comme dit plus haut, f(x) n'est entière qu'aux points x=p et x=N.
De la même manière, g(x) n'est entière qu'aux deux points
on peut donc "avoir l'idée" de relier ces deux couples de points par un segment, qui sera dont l’hypoténuse d'un triangle rectangle de côté entiers (puisque séparant deux points entiers).
Par conséquent, le carré de la longueur de ce segment est un entier, et donc, sa longueur est une racine d'un entier!
Est-ce correct jusqu'à présent?
Le point d'intersection est un "anecdote" dûe, comme c'était dit, aux deux courbes arbitraires considérées qui fournissent l'équation du nombre d'or. Par contre, ces deux courbes ne sont en fait pas arbitraires : elles représentent deux façons différentes, et uniques, d'exprimer un produit de deux nombres premiers.....
Le lien entre nombre d'or et factorisation n'est donc pas trivial... : on peut très bien considérer ce point d'intersection dans les constructions géométriques, et ainsi définir des segment dont une extrémité a des coordonnées irrationnelles (point d'intersection), et l'autre, des coordonnées entières (point particulier sur la courbe).
trouver les facteurs donc, revient à trouver les points x tels que la longueur d'un segment construit vérifie certaines contraintes sur la nature (algébrique) de sa norme...
En fait, "l'espace de phase (B,K)" correspond à une rotation de +45° des axes (x,y), la symétrie est cette rotation : on voit que dans cet espace (B,K), la conique N/x devient
si on revient au 1er quadrant:
Bien sûr, tester tous les points x (entiers, histoire de gagner du temps) qui fournissent un f(x) entier, revient au problème non-polynomial de la factorisation.
mon but étant de trouver une méthode géométrique (si possible graphique) qui respecte les contraintes de naturalité des points (en fait, DU point , vu le domaine considéré) qui sont solution.
On voit sur la photo ci-dessous que la méthode de chercher analytiquement les points x qui donnent une valeur entière de f(x) fait intervenir la fonction partie entière, qui est-elle même à la base de la définition de la fonction zeta de Riemann (par la formule d'Euler-Mac Laurin).
Il serait donc préférable de trouver une méthode de résolution géométrique...si l'ont veut contourner le problème de la fonction partie entière...
photo deltas.jpg
La "relation triviale" (le problème admet 2 solutions, dont une Triviale : N = pq = 1.N) a été notée
Et oui donc voilà le "trick" géométrique : si on trace les deux segments relatifs à ces deux solutions (la triviale et la recherchée), il ont FORCEMENT des caractéristiques (relations géométriques) communes!! (liées au nombre d'or?)
Le segment trivial est noté
Le but étant de démontrer l'utilisation du mot "forcément"
Est-ce correct?
On peut voir le problème de façon géométrique en imaginant le segment
Lors de ce parcours donc, il passe par une configuration "spectaculaire" qui passe "inaperçue" : dans laquelle ses deux extrémités ont des coordonnées entières (toutes les autres configurations ne vérifient pas cette contrainte)
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Envoyé par Toufou 
