Dimension fractale et variétés algébriques

[invite52487760]

Bonjour à tous,

Pourquoi une variété algébrique quelconque ne peut jamais avoir comme dimension une dimension fractale ? ( C'est à dire une dimension avec une virgule, comme la dimension de Minkowski et la dimension de Hausdorff ? )
Pourquoi la courbe de Von Koch qui a pour dimension une dimension fractale, ne peut pas être une courbe algébrique ?

Merci d'avance.
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[taladris]

Une figure fractale ou fractale est une courbe ou surface de forme irrégulière ou morcelée qui se crée en suivant des règles déterministes ou stochastiques impliquant une homothétie interne.

Je ne sais pas si on peut definir la dimension fractale d'une variete algebrique, puisque celles-ci n'ont en general pas d'homethetie interne. Les varietes algebrique non singulieres sont des varietes differentielles, et leur dimension est definie comme etant leur dimension en tant que variete lisse, donc est un entier.

[invite52487760]

Merci pour ces précisions taladriss.
Et les variétés transcendantes ( différentiables ??? ) peuvent - elles avoir une dimension fractale ?
Merci d'avance.

[invite52487760]

D'accord, les variétés différentiables ( transcendantes ) ne sont pas irrégulières, donc ne sont pas des fractales.
Donc, les courbes et surfaces fractales ne s'expriment pas comme étant le lieu d'annulation d'une application à déterminer ?
Merci d'avance.

[A voir en vidéo sur Futura]

[taladris]

Donc, les courbes et surfaces fractales ne s'expriment pas comme étant le lieu d'annulation d'une application à déterminer ?
Merci d'avance.

Le flocon de Von Koch, etant homeomorphe a un cercle, est le lieu d'annulation d'une fonction continue.

[invite52487760]

Merci, et comment montrer que le flocon de Von Koch est homéomorphe à un cercle ? Je veux dire formellement.
Merci d'avance.

[Garf]

Deux choses :

Premièrement, un théorème (dont je ne me souviens plus des références, mais qui n'est pas trop compliqué à démontrer) affirme que tout fermé de R^n est le lieu d'annulation d'une fonction infiniment différentiable. Le flocon de Koch est fermé, donc c'est gagné.

Deuxièmement, pour montrer que le flocon de Koch est homéomorphe à un cercle, je travaillerais pas approximations successives. Le flocon de Koch est limite de polygones. Chacun de ces polygones peut être paramétré de façon continue, et qui plus est on peut choisir chaque paramétrisation à vitesse unitaire. Il ne me semble pas trop compliqué de démontrer que ces paramétrisations convergent vers une paramétrisation limite qui est une paramétrisation bijective du flocon de Koch. Après, il reste à montrer que c'est bien un homéomorphisme, c'est-à-dire que son inverse est continu. La encore, ça semble raisonnable.

[invite52487760]

Merci pour ces précisions Garf.
Si on note le flocon de Van Koch, alors, le lieu d'annulation de . Par ailleurs, la dimension de est une dimension fractale, donc, en général, une variété différentiable peut bien avoir une dimension autre qu'une dimension entière ? par exemple une dimension fractale, non ?
Merci d'avance.

[Seirios]

A priori, je ne vois pas pourquoi le lieu d'annulation d'une fonction serait nécessairement une variété différentiable. Déjà que ce n'est pas toujours une variété.

Maintenant, il faudrait que tu sois plus précis dans les dimensions que tu utilises, il en existe plusieurs possibles. Cela dit, il me semble que la plupart coïncident sur les variétés topologiques pour donner la dimension en tant que variété.

[invite52487760]

Oui, c'est vrai, par exemple, contient un point de ramification en , donc, ce n'est pas une variété, non ? Ce sont de vieux trucs que j'ai appris il y'a longtemps. Je ne sais pas si ce que j'ai dit est correct ? Quelqu'un peut-il confirmer ?
Merci d'avance.

[Seirios]

Mais confirmer quoi ?

[invite52487760]

... que : n'est pas une variété.

[Seirios]

C'est une variété topologique et une variété algébrique, mais pas une variété différentiable.

[invite52487760]

D'accord, tu peux me donner un exemple de qui présente un objet qui n'est pas une variété ( algébrique ou différentiable .. etc ), mais qui s'exprime comme le lieu d'annulation d'une fonction ?
Merci d'avance.

A priori, je ne vois pas pourquoi le lieu d'annulation d'une fonction serait nécessairement une variété différentiable. Déjà que ce n'est pas toujours une variété.

[invite52487760]

Voiçi un exemple d'espace topologique qui n'est pas une variété que j'ai trouvé sur le net : , qui présente une croix : http://www.cpt.univ-mrs.fr/~coque/book/node14.html

[Seirios]

Ce n'est pas une variété topologique, mais c'est une variété algébrique. Comme l'a précisé Garf, n'importe quel ensemble fermé d'un espace euclidien est le lieu d'annulation d'une fonction lisse, donc l'ensemble de Cantor est un bon exemple (une construction de la fonction lisse est donnée ici).

PS : Avant de chercher sur Internet une réponse à ta question, tu aurais pu y réfléchir seul, c'est comme ça qu'on comprend et qu'on fait des mathématiques.

[invite52487760]

Peux tu m'écrire l'ensemble de Cantor sous forme de lieu d'annulation d'une fonction ( lisse ou non, je ne sais pas ) ?
Merci d'avance.

[Seirios]

C'est expliqué dans le lien que j'ai cité.

[invite52487760]

D'accord, je vais voir.
ça veut dire quoi : bump function en français ?

[Seirios]

C'est expliqué ici : Bump function. Je ne sais pas s'il existe un terme équivalent en français.

[minushabens]

On parle souvent de noyau pour de telles fonctions, mais ça caractérise surtout l'usage qu'on en fait.