Problème dimension espace vectoriel

[sebgra]

Bonjour,

Je me permet de vous solliciter car je rencontre un "problème" avec la détermination d'une dimension de sous espace vectoriel, qui de surcroit m'empêche de continuer l'exercice... bref voici le soucis:

On travaille dans R^4, muni de la base canonique e1,e2,e3,e4, E est le sous espace vectoriel généré par u1= e1 + 2e3 + 2e4 et u2=-e1 - 2e2 + 3e3 +2e4
Il s'agit de déterminer la dimension de E. Voici comment j'ai procédé:

E=Vect {(u1;u2)} donc E est combinaison linéaire de u1 et u2, j'ai donc choisi la combinaison de coefficients 1 et 1 j'obtiens donc
u1 +u2 =-2e2 +5 e3 +4 e4
Ainsi j'en déduis que E est de dimension 3, ce qui paraît probable, pourtant je ne suis pas satisfait ...
Suis-je sur la bonne voie où complètement à côté de la plaque ?
Merci par avance pour vos réponses
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[Médiat]

Bonjour,

Un espace de dimension 3 dont une base serait constituée de 2 vecteurs

[gg0]

Bonjour.

Il va te falloir réviser tes leçons, et faire la différence entre un espace vectoriel et ses éléments. Tous les mots comptent, en maths.

"E est combinaison linéaire de u1 et u2" Belle absurdité ! La phrase exacte est "E est l'ensemble des combinaisons linéaires de u1 et u2", ce qui change tout !

Quand tu auras appris ton cours (en comprenant tout ce qui y est dit - si tu bloques sur certaines compréhensions, viens en parler), tu reprendras cet exercice, en remarquant que tu as une famille génératrice.

Cordialement.

NB : Si tu veux devenir nul en algèbre linéaire, fais tes exercices sans apprendre le cours. C'est la bonne méthode.

[sebgra]

Re-bonjour,
Merci pour vos réponses, même si certaines sont assez cinglantes, justement j'avais à l'esprit que u1+u2 est une combinaison particulaire. Certes E est générée par les deux vecteurs u1 et u2, cependant je bloque sur un point: il est fait référence à la base canonique, pourtant u1 et u2 sont, si je ne me trompe pas, libres et générateurs et forment donc une base. La dimension serait alors de 2, mais le fait que u1 et u2 soient des combinaisons particulières de e1,e2,e3 et e4 m'incitent à "exprimer" E en fonction de ces vecteurs pour en déduire la dimension de E. C'est vrai que j'ai parlé d'espace de dimension 3, généré par deux vecteurs (u1 et u2) mais je faisait référence à la base canonique enfin je pense avoir compris l'erreur
PS: Je n'ai nullement l'intention de devenir nul en algèbre linéaire, certes ce n'est pas mon point fort, j'admet avoir fait un raccouricis vis à vis des combinaisons linéaires, ce n'est pas pour autant que je n'ai pas appris mon cours, surtout après 5 ans de post bac...

[A voir en vidéo sur Futura]

[PlaneteF]

Bonjour,

Re-bonjour,
La dimension serait alors de 2, mais (...)

La dimension de est effectivement de , chose d'ailleurs que tu n'as pas justifié, du moins sur ce forum, ... après je ne vois pas le comment du pourquoi de ton "mais"

Cordialement

[gg0]

Tout ce que tu dis montre bien que tu ne comprends pas vraiment l'algèbre linéaire. En particulier le fait que de toute famille génératrice on peut extraire une base (dit en termes de dimension, la dimension d'un E. V. est inférieure ou égale à la taille d'une famille qui l'engendre). La base canonique n'a rien à faire dans l'histoire : Quels que soient u1 et u2, vect(u1,u2) est de dimension au plus 2.

Cordialement.

NB : On peut avoir fait 5 ans après le bac sans apprendre l'algèbre linéaire. Et même avoir fait une L1 maths sans apprendre ...

[sebgra]

Je crois que j'ai compris, je suis parti d'u1: (1;0;2;2) et u2: (-1;-2;3;2)j'ai réussi à montré que ces deux vecteurs étaient libres, de plus l'énoncé dit que u1 et u2 sont générateurs de E, donc u1 et u2 forment une base de E, donc E est de dimension 2 exact ? Je viens d'avoir le déclic la base canonique sert à donner l'expression u1: (1;0;2;2) et de même pour u2 du coup j'ai pu reconnaître la méthode à employer
gg0: je n'ai certainement pas tout compris de l'algèbre linéaire, c'est la première année où j'en pratique ne faisant pas d'études de maths, j'ai juste été un peu vexé d'entendre que je n'apprenais pas le cours sous entendu, je ne faisais pas d'efforts, alors que ce n'est pas le cas, enfin peut être que j'interprète mal, enfin nous n'allons pas épiloguer la dessus

[gg0]

Je parlais de connaissances, pas de travail ! Quand tu auras autant fréquenté ton cours que je le faisais quand j'apprenais les débuts de l'algèbre linéaire, tu ne seras plus en difficultés sur les exercices simples : Je suivais le cours en amphi, je le reprenais, en refaisant les preuves, et à chaque exercice, j'avais le cours à côté, le relisant pour voir à quelle partie du cours l’exercice fait allusion. Cependant, je n'y passais pas tellement de temps, je privilégie toujours la compréhension à l'apprentissage. Il se trouve que la partie espaces vectoriels, sous-espaces, bases, dimension une fois faite, a une belle cohérence. Qui se renforce ensuite avec les applications linéaires et le théorème du rang.

Bon travail !

[sebgra]

J'avais mal interprété le NB, du coup je me suis un peu braqué désolé :/
J'ai bel et bien le cours à côté de moi, mais sur cette partie je trouve ça assez abstrait, pourtant pour ce qui est des applications linéaires et des matrices qui y sont liées je n'ai pas de grosses difficultés. Je vais essayer de revoir les démonstrations, peut être que ça éclaircira le tout

[sebgra]

Bonjour,

Ayant avancé sur le même exercice, je me retrouve non pas bloqué, mais forcé à utiliser des notions que je n'ai pas, je m'explique:

J'ai préalablement prouvé que les vecteurs v1=1/3 u1 =(1/3;0;2/3;2/3) et v2= 1/3 (2e1+2e2-e3)= (2/3;2/3;-1/3;0) formaient une base orthonormée du s.e.v E=Vect {( (1;0;2;2) ; (-1;-2;3;2) )} . Je dois par la suite trouver les projetés orthogonaux de sur E des quatre vecteurs de la base canonique et en déduire la matrice du projecteur. Le contenu de mon cours sur les projecteurs étant peu détaillé, en cherchant je suis tombé sur la formule suivante
Pour un vecteur x (x1;x2;...;xn) de E, en considérant (b1;b2;...;bn) une base de F, le projeté orthogonal de x sur F p(x) est: p(x)=<x,b1>b1+ <x,b2>b2+...+<x,bn>bn. En appliquant cette formule je parviens à déterminer les projetés suivants:

*e1 => (5/9;4/9;0;2/9)
*e2=> (4/9;4/9;-2/9;0)
*e3 => (0;-2/9;5/9;4/9)
*e4 => (2/9;0;4/9;4/9)

Ainsi j'en déduis la matrice M
5/9 4/9 0 2/9
4/9 4/9 -2/9 0
0 -2/9 5/9 0
2/9 0 4/9 4/9

Mon résultat ne me parait pas aberrant, je ne suis pas sur de sa justesse, mais d'un point de vue méthodologique je n'ai pas cette formule dans mon cours existe il une autre méthode, sachant que mon cours se limite à la définition du projeté orthogonal :"Pour n un entier non nul et F un sev de R^n, le projecteur orthogonal p sur F est le projecteur sur F parallèlement sur F orthogonal" ?

Merci par avance pour vos lumières
Cordialement

[sebgra]

Up pour l'année 2015

[gg0]

Bonjour.

A priori, si ton exercice t'a été donné suite à ce que tu as vu en cours, tu dois utiliser ce qui est fait en cours, pas des formules toutes faites qui pourraient être fausses. Ou alors, tu les démontres !

Cordialement.