Nature d'un endomorphisme à partir de la matrice

[Achraf-Am]

Bonjour,
J'ai une matrice A et je dois étudier la nature de l'endomorphisme. Au cours, on a fait que si le detA= 1 alors rotation d'axe Ker(f-id). et si detA=-1 c'est soit une reflexion (ker(f-id)=plan) soit une composée commutative de reflexion et rotation (ker(f-id)=un seul point).

Sauf que pour la matrice cité ci-dessus, on a detA=-1 et dim(ker(f-id))=1 ... alors, dis donc, rotation ou reflexion ?

A =
( -2 6 -3 )
( 6 3 2 )
( -3 2 6 )
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[Achraf-Am]

petite rectification : A est égale à (1/7) * ce qui est précisé précédemment.

Merci.

[Seirios]

Bonjour,

Déjà, il faudrait que tu précises quelles sont les matrices pour lesquelles ton résultat s'applique : tu ne sembles considérer que des matrices orthogonales. Ensuite, si tu prends une rotation dans l'espace d'axe et une réflexion par rapport à un plan , alors, si , la matrice correspondant à aura un ensemble de points fixes de dimension un et sera de déterminant -1.

[Achraf-Am]

Effectivement, on parle de matrices orthogonales et d'automorphismes orthogonaux.
Mais, dans le cours, on n'a traité que les composées commutatives, d'une rotation d'axe D et d'une réflexion de (hyper)plan : la partie orthogonale de D.

[A voir en vidéo sur Futura]

[Seirios]

Et bien l'exemple que je t'ai donné montre bien que tous les cas n'ont pas été traités.

[Achraf-Am]

euh... Oui mais je viens d'y réfléchir
en fait, quelque soit la rotation d'un axe et d'angle et reflexion de plan tel que :

le plan qui contient et qui fait un angle avec est un ensemble fixe par et qui est évidement de dim 2

[Seirios]

Oublie ce que j'ai écrit au message #3, c'est n'importe quoi. Par contre, tu ne l'as pas précisé, mais ton résultat ne fonctionne pas en toute dimension : tu dois certainement travailler en dimension 3 ?

Pour ta matrice, pour ma part je trouve que est le plan d'équation , ce qui est bien de dimension 2.