Différentielle extérieure

[Victor.S]

Bonjour bonjour.
J'ai un petit soucis, ça doit pas être grand chose mais j'essaie de comprendre pourquoi
Par définition, on a (avec une base appropriée de E (l'ev de dimension finie de référence))
Par définition de la différentielle, (et la dérivée extérieure se veut correspondre à la différentielle dans )
(U un ouvert de E préalablement choisi et )

On a car c'est une forme linéaire d'un espace de dimension finie, donc polynomiale.
De plus donc par unicité de la différentielle,
soit ce qui n'est pas vraiment le résultat attendu :/

Il doit y avoir une absurdité quelque part, je m'en doute, mais je ne parviens pas à la localiser, merci !
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[Victor.S]

On a car c'est une forme linéaire d'un espace de dimension finie, donc polynomiale.
De plus donc par unicité de la différentielle,

En fait ici le problème est que c'est donc , on ne peut donc pas différencier pour faire la dérivée extérieure.


Le deuxième problème doit venir de mon cours :
On me dit textuellement "est la différentielle de l'application i-ème coordonnée "
Mais, si je considère cette fonction, que je l'appelle . Alors si on a et sinon
Alors, si je la différencie j'obtiens par définition.
Soit ou encore
et finalement .
En plus, pour moi est l'application i-ème coordonnée , elle serait sa propre différentielle... Ce qui serait étrange pour la dérivée extérieure.

[GrisBleu]

Bonjour

Sur le premier point, dx^ i est bien la derivee exterieur d'une fonction (x^ i), elle a les proprietes attendues (elle prend un vecteur en entree, est lineaire en ce vecteur, etc.)
d(dx^ i) est la derivee d'une forme et non d'une fonction. C'est donc une 2 forme qui prend 2 vecteur en entree ce que ton calcul ne montre pas. De plus, ton calcul me semble bizarre car tu prend df (a+h) ou a et a+h sont dans le meme espace tangent alors que tu voudrias calculer les differentielles a 2 points proches
Si f est une fonction, et dd implique donc bien les derivees secondes et est nulle par antisymmetrie de ^ et par symmetrie des derivees partielles

Sur le second point, tu melanges une fonction de la variete avec une forme sur l'espace tangent, ce n'est pas la meme chose
En fait, pour moi, on a bien

A bientot

[Victor.S]

d(dx^ i) est la derivee d'une forme et non d'une fonction.

Ouais, c'est l'erreur que j'ai reprise dans le deuxième message. ^^

Sur le premier point, dx^ i est bien la derivee exterieur d'une fonction (x^ i), elle a les proprietes attendues (elle prend un vecteur en entree, est lineaire en ce vecteur, etc.)

C'est quoi ? C'est la fonction ième coordonnées ? ()

De plus, ton calcul me semble bizarre car tu prend df (a+h) ou a et a+h sont dans le meme espace tangent alors que tu voudrias calculer les differentielles a 2 points proches.

J'ai pas compris. :/ est là pour dire que la situation intéressante est quand h est proche de a.

Si f est une fonction, et dd implique donc bien les derivees secondes et est nulle par antisymmetrie de ^ et par symmetrie des derivees partielles

Oui ce passage là je pense l'aivoir compris dans mon cours, en fait le théorème d'existence et d'unicité de la dérivée extérieure, mais j'essaie de la comprendre profondément, donc de faire le lien avec la différentielle quand je peux et de voir en quoi elle l'étend correctement.

Sur le second point, tu melanges une fonction de la variete avec une forme sur l'espace tangent, ce n'est pas la meme chose

À mon avis ça doit être là mon erreur. ^^
Donc pour détailler comment je pense je vais prendre un exemple :
f(x,y,z)=x correspond à une fonction de R^3 dans R. C'est la fonction première coordonnée.
Donc là je ne peux pas dire que ?
Parce que si oui, alors
Or, donc

Quelle propriété j'utilise qui fait la confusion ?

Merci beaucoup !

[A voir en vidéo sur Futura]

[GrisBleu]

Bonjour Victor

Personnellement, j'ai moi aussi toujours du mal avec d et ^ pour ramener ça à des visualisations plus simples

C'est quoi ? C'est la fonction ième coordonnées ? ()

Justement, tu melanges (si je comprend) la fonction qui a un point p associe sa i eme coordonnée (dans la carte donnée) et la forme qui a un vecteur (de l'espace tangent) associe sa i eme composante. Cette forme étant la dérivée de la fonction précédente

Pour reprendre ton dernier exemple
ou est ma notation pour la forme df au point p
est une forme, son argument est donc un vecteur
Si je considère un point p et un vecteur V de l'espace tangent alors

Si f est la fonction la fonction qui a un point p associe sa 1ere coordonnée (dans la carte (x^1...x^n)donnée)
et donc
, d'ou df=dx^1
Au final, tu a mélangé "a" comme un point de la varieté R3 et "a" comme un vecteur de l'espace tangent R3

A bientôt

[Victor.S]

Justement, tu melanges (si je comprend) la fonction qui a un point p associe sa i eme coordonnée (dans la carte donnée) et la forme qui a un vecteur (de l'espace tangent) associe sa i eme composante. Cette forme étant la dérivée de la fonction précédente

Une grande partie du problème doit se situer dans la définition de , tu sais où je peux trouver la définition formelle ?
Parce que, moi ce que je comprends est quelque chose de pas forcément différentiable donc c'est pas ça, je te dis quand même :
si (U,w) est une carte locale contenant p, xi(p) est la ième cordonnée de w(p) dans R^n

[GrisBleu]

C'est aussi ma comprehension
si p est un point d'une variete M, U un ouvert contenant p,{x1,...,x^n} une carte. La fonction est bien definie, et elle est differente d'un "truc" qui pour toute carte enverrait la premiere composante (et qui n'est pas une fonction car il depend de la carte choisie)
Elle est bien differentiable
Cdlt

[Victor.S]

C'est aussi ma comprehension
si p est un point d'une variete M, U un ouvert contenant p,{x1,...,x^n} une carte. La fonction est bien definie, et elle est differente d'un "truc" qui pour toute carte enverrait la premiere composante (et qui n'est pas une fonction car il depend de la carte choisie)
Elle est bien differentiable
Cdlt

Ah j'ai pas bien compris en quoi g ne dépendait pas de la carte choisie :/
D'ailleurs j'ai pas compris pourquoi était définie sur tout M.

[GrisBleu]

Pour le 2nd point, la carte en question n'est definie que sur U
Pour le premier point,
g est la carte qui a p associe x^1(p),...,x^n(p). Je suppose qu'il y a une autre carte h qui a p associe y^1(p),...,y^n(p) et que le passage de x a y est lisse
une fonction f de M dans Rn est vue comme
- une fonction de Rn dans Rn (1)
- une fonction de Rn dans Rn (2)
Si dans la carte x, la fonction est x^1(p),...,x^n(p) -> x^1, dans la carte y, ce ne sera pas du tout y^1, mais un truc complique x^1(y^1,...,y^n) qui maintient la coherence des definitions precedentes (1) et (2)
Par contre (ce que tu pensais peut etre), si on definit le truc
et il n'y a pas de f qui permettent d'avoir (1) et (2) pour toutes cartes y

Si je reprend un bouquin que j'apprecie (Geometrical methods of mathematical physices - B. Schutz), p31 : "The coordinates themselves, of course, are continuous and infinitely differentiable functions. For instance, x^3 is the fumction such that x^3(p) is the value of the third coordinate of the point P"
Meme si je trouve que le "of course" est un peu fort

Cordialement

[GrisBleu]

Oups, erreur de manip

[Victor.S]

J'ai trouvé ton bouquin, j'ai pas encore lu vraiment si tu sais où ça se trouve tu peux juste me donner la page j'ai pas envie de t'ennuyer ^^.

-Du coup à chaque étape tu changes de carte mais je ne sais pas comment faire un prolongement lisse, vu qu'il a l'air de dire qu'on peut faire que la fonction finale soit lisse.
-Cette action a pour effet de considérer potentiellement plein de fonctions différentes pour obtenir les "xi" sur toute la variété. Du coup on fait un "changement de xi" aux bords ? Comment ça se passe ?

Merci beaucoup hein

[GrisBleu]

Salut

C'est p31
A bientôt

[Victor.S]

Bonjour. Je n'arrive pas vraiment à comprendre comment on peut avoir un seul "dxi" pour toute la variété alors que le xi tel qu'il est construit est construit de façon locale :/

[GrisBleu]

Bonjour

Effectivement, l'ecriture d'une forme (ou d'un tenseur) depend de la carte consideree, mais pas la forme en elle meme
+ Grace a la compatibilite entre carte quand elles se recouvrent, tu peux passer d'une ecriture a une autre et "prolonger" d'une carte a l'autre
+ L'utilisation de carte permet des calculs locaux, meme si avec des "recollements" il y a des resultats globaux de possible. Par ex : Theoreme de Stokes,http://fr.wikipedia.org/wiki/Th%C3%A...A8me_de_Stokes, lien ou le calcul est bien local a chaque carte
A bientot

[invite02232301]

Bonjour,

Bonjour. Je n'arrive pas vraiment à comprendre comment on peut avoir un seul "dxi" pour toute la variété alors que le xi tel qu'il est construit est construit de façon locale :/

Mais y a pas "un seul" dx_i sur toute la variété, dx_i n'est défini que de manière locale, si U est un ouvert de carte, alors dx_i est une 1-forme sur U, c'est tout.
De meme x_i n'est une fonction définie que sur U.

[Victor.S]

Okay merci beaucoup !

[Victor.S]

Bonjour.
Maintenant que j'ai mieux compris quelques enjeux, j'ai mieux compris comment poser la question que je me pose toujours :

On travaille ici avec un ouvert de un R-espace vectoriel de dimension n.
On a donc et soit , donc associe à , , autrement dit .

On me dit qu'on peut écrire une forme différentielle de , donc de
comme et c'est normal car et forme une base de
Jusque là je comprends tout à fait la construction.

Mais après, on m'explique qu'on a le droit d'écrire
donc avec des élément de on le rappelle.

Ce qui voudrait dire que , ça veut donc dire qu'implicitement on a changé la définition de la forme différentielle.

Mais c'est tout à fait acceptable puisque par identification, les fonctions étant constantes on ne change pas l'information, on repart simplement sur de nouveaux fondements et finalement on dit qu'une forme différentielle c'est un objet de .
L'espace des fonctions est toujours l'espace des 0-formes donc selon le nouveau fondement il est donc il n'a pas changé en fait cet espace des 0-formes.

Ce qui m'étonne, c'est qu'on me dit qu'on a pour les 0-formes et que c'est toujours la différentielle de f, malgré le changement de formalisme.
Autrement dit, on dit que la différentielle de (qui est bien une 0-forme donc la définition s'applique) est
, soit .
On est entrain de dire qu'un élément de est aussi un élément de .

Je ne comprends plus. Quel est le formalisme des formes différentielles ? Quelle est mon erreur ?

Merci beaucoup de votre patience et désolé de ces questions basiques.

[gg0]

Voir dérivée extérieure

[invite02232301]

Mais après, on m'explique qu'on a le droit d'écrire
donc avec des élément de on le rappelle.

Non, c'est

ou alors


C'est la meme nuance que exp=cos+isin et exp(x)=cos(x)+isin(x)
Il est vrai cela dit que comme, lu dans la carte (x_1,...,x_n) les dx_i sont constants et valent e_i^* en chaque point on ecrit parfois simplement dx_i au lieu de {dx_i}_x.

[GrisBleu]

`Bonjour

On travaille ici avec un ouvert de un R-espace vectoriel de dimension n.
On a donc et soit , donc associe à , , autrement dit .

Je pense que tu confonds encore les choses :
est une forme. Au point a, elle prend comme argument un vecteur de l'espace tangent en a et non le point a.
Pour faire le lien avec l'intuition
+ Imagines un chemin avec .
+ pour t faible, g(t) est dans U et donc on peut utiliser la carte des x en U. Soit une fonction f
et donc
(1) le vecteur (dont la définition ne dépend pas - in fine - des cartes) permet bien de donner sens à "un accroissement le long d'une direction"
(2) donc df permet bien de donner un sens aux variations de f selon une direction donnée par un vecteur

Avec le cas particulier de x^i

Pour revenir a ton idée d'ajouter h : imagines que le vecteur h soit la dérivée d'un chemin gamma en a

En espérant que ça puisse t'aider

Cdlt

[invite02232301]

Je pense que tu confonds encore les choses :
est une forme. Au point a, elle prend comme argument un vecteur de l'espace tangent en a et non le point a.

Ben c'est justement ce qu'il dit, hein, dx_i est une p-forme differentielle sur U, ou dit autrement un champ de p-formes linéaires. Donc c'est pas dx_i qui prend comme argument un vecteur tangent en a, c'est dx_i(a) qui prend comme argument un vecteur tangent en a.

[GrisBleu]

Ben c'est justement ce qu'il dit

Dans ce cas, mes excuses

[Victor.S]

Non, c'est

ou alors

Ah ouaiiis ! C'est ça ! Parce que oui dans mon poly ils marquent texto ce que j'ai marqué hein, mais en effet quelques pages plus loin ils n'appliquent pas la forme diff en x.
En fait, justement, j'avais bien compris (puisqu'on me l'a répété un bon nombre de fois) qu'on assimilait la fonction constante à sa constante, mais je n'arrivais pas à remonter à la construction rigoureuse, même si je connaissais la liberté prise. Bref.
Du coup en fait rigoureusement on n'a pas mais ?
Ce qui enlève le problème que je me pose puisqu'en faisant la différentielle de on obtient


Est-ce bien cela ?

Et du coup finalement donc tout vient de l'égalité ?

En tout cas merci à toi et GrisBleu, vous m'aidez bien !