Dérivée de H(x)*ln(|x|)

[Plussoyeur]

Bonjour à vous!

Je souhaite calculer la dérivée au sens des distributions de x-> H(x)*ln(|x|) avec H la fonction d'Heaviside.
Je ne suis pas très sûr de moi, mais j'ai montré que si on appelle T cette distribution alors T' vérifie : X T' = 0 (il suffit de faire une intégration par parties sur le terme qui contient le x*ln(x)). Donc j'en déduis que T' est proportionnelle à delta. Pourtant vu la tête, j'ai bien envie de faire apparaître la partie finie de 1/x puisqu'on a du ln(x).
Voilà mon soucis

Excellente journée à vous
-----

[Universus]

Bonjour,

Il est plutôt maladroit d'évaluer T' sur la « fonction-test » , puisque cette dernière n'est pas une fonction de Schwartz et encore moins une fonction à support compact (et donc la distribution n'est pas définie a priori sur ).

Par définition, si D est une distribution, la valeur de sur une fonction-test (ou même ici ) vaut l'opposée de la valeur de sur la fonction-test : . Ainsi, afin de déterminer l'action de D' sur les fonctions-test, il suffit de connaître l'action de D sur les fonctions-test d'intégrale nulle (puisqu'il s'agit de l'image de la dérivation sur les fonctions-test).

Votre idée consiste à considérer la distribution et vous prétendez qu'elle vaut 0. Or, ; ceci est nul pour tout si et seulement si pour tout . Pourtant, .

Ici, j'ai utilisé la règle de Leibniz sur les distributions ; c'est peut-être de la tricherie, puisqu'une fois cette règle admise, nous calculons tout simplement . Il s'avère cependant peut-être plus opportun de chercher à démontrer cette règle plutôt que de chercher T' directement, à même la définition de dérivée. Cependant, cette expression pour T' ne semble pas idéale, puisqu'il s'agit d'une sorte de somme indéterminée ... C'est probablement inévitable cependant.

Une autre manière de voir que est que cela signifie que est supportée à l'origine et qu'il s'agit donc d'une somme de , de sorte que vaudrait H plus une distribution supportée à l'origine, ce qui n'est pas le cas.

(Désolé pour la structure de ce message... j'espère qu'il ne sera pas trop pénible à décoder)

[Tryss]

Ca se fait directement :



La première intégrale tend vers 0

Pour la seconde intégrale, on peut faire un IPP :



D'où le résultat :


Ça ressemble un peu à la valeur principale de 1/x, mais limité à R+, auquel on a enlevé la "partie divergente" (car il n'y a plus compensation)

Ce genre de distribution apparait assez fréquemment