Intersection entre un cylindre et un plan incliner

[legyptien]

Bonjour,

On sait que ça doit donner une ellipse cependant quand je résous le système :

(1) x^2+y^2=R^2 cylindre allonger sur z

(2) le plan z=a*x quelque soit a j obtiens l equation d un cercle dans XY (equation 1) et uniquement pour a=1 j obtiens un cercle aussi dans le plan YZ. C est normal ?

Ca serait pas du fait qu une ellipse projetee sur un plan donne un cercle ? Ce qui me derange franchement c est qu il doit y avoir les memes regles pour XY que pour YZ. Je vois pas pk dans un cas il faut avoir a=1 alors que l autre non. mais mon calcul me donne ca...


Merci !
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[legyptien]

ah oui ca serait cool de me mettre sur la voie sans me donner la reponse... merci !

[gg0]

Bonjour.

Ton cylindre se projette suivant un cercle sur le plan Oxy. Donc l'ellipse aussi.
Plus généralement, une ellipse projetée sur un plan donne une ellipse, parfois un cercle ou un segment.
"Ce qui me derange franchement c est qu il doit y avoir les memes regles pour XY que pour YZ" : Tu n'as pas de raison d'avoir les mêmes règles, puisque ton cylindre a pour axe l'axe des z. Si tu le projette sur Oyz, tu obtiens une bande (portion de plan située entre deux droites parallèles), pas un cercle.
Mais d'une certaine façon, tu obtiens bien la même chose : une ellipse (le cercle est une ellipse particulière, dont les foyers sont confondus).

Un petit dessin dans l'espace (*) t'aurait vite permis de comprendre.

Cordialement.

NB : N'importe comment, c'est l'équation de l'ellipse qui est utile.

(*) ou l'utilisation d'un logiciel de dessin 3D.

[legyptien]

Un petit dessin dans l'espace (*) t'aurait vite permis de comprendre.

Merci de ta reponse. Qui t as dit que j ai pas fait un dessin ? J ai bien compris toutes tes remarques.

Es tu d accord avec mes 2 equations (le plan et le cercle) ? Si oui alors la "demo" est courte. Je considere a=1 (plan a 45 degres). et je remplace x par z dans (1). j obtiens pas l equation d une ellipse !!!!! Pourquoi ?


Merci

[A voir en vidéo sur Futura]

[gg0]

Si tu coupe un cylindre à 45°, l'ellipse projetée sur un plan à 45° sera la même, que ce soit le plan initial ou un plan frontal.
Pour une ellipse non circulaire donnée de l'espace, il y a deux plans (à parallélisme près) sur lesquels la projection sera un cercle. Il suffit que ces plans soient parallèles au petit axe, perpendiculaires au grand axe, et que le segment projeté du grand axe ait pour longueur celle du petit axe.

Cordialement.

[legyptien]

Si tu coupe un cylindre à 45°, l'ellipse projetée sur un plan à 45° sera la même, que ce soit le plan initial ou un plan frontal.

super interessant, il faudrait que j essaie de demontrer ca avec un changement de referentiel.

"Pour une ellipse non circulaire donnée de l'espace, il y a deux plans (à parallélisme près) sur lesquels la projection sera un cercle. Il suffit que ces plans soient parallèles au petit axe, perpendiculaires au grand axe, et que le segment projeté du grand axe ait pour longueur celle du petit axe"

j ai vraiment bcp de mal a comprendre cette phrase (a part le fait que si les prejetes du grand axe et petit axe ont meme longeur on aura un cercle dans le plan on a la projection). Mais pour moi ce plan en question est incliner par rapport au plan former par l ellipse, il n est pas parallel au petit axe et perpendiculaire au grand axe. c est bien pour ca qu on a une projection non ?

je jure que j ai une figure devant les yeux. Est ce que ce que tu essaies de me dire c est qu il est normal que j obtienne l equation d un cercle ?

Merci de ta patience.

[gg0]

Tu dois manquer d'habitude des représentations dans l'espace (je suis d'une génération qui en faisait beaucoup en lycée, à la main ou à la règle). Quand un plan P est "incliné" sur un autre P', donc qu'ils se coupent, ce plan P est parallèle à l'intersection des deux plans, et à toute droite de P' qui est parallèle à l'intersection.
Attention, le parallélisme d'une droite D et d'un plan P n'empêche pas des plans passant par la droite d'être sécants à P.

Par contre, j'ai effectivement fait une erreur en disant " perpendiculaires au grand axe" alors que c'est l'intersection de ce plan avec le plan de l'ellipse qui est perpendiculaires au grand axe. Désolé. J'ai rédigé trop vite (championnats du monde de cyclisme sur piste oblige).

Sinon, ce que tu as trouvé est tout à fait normal.

[legyptien]

merci bcp !

Ca faisait 2 jours que je cherchais une erreur qui n existait pas ! tout ca parce que mon imagination en 3D me disait autre chose. J'ai telecharger geogebra et Archimede Geo 3D. C est super ces trucs la !!

Merci encore !