Cartes, Jeux et probabilités

[CZZK]

Bonjour.

Voici un petit problème probablement simple mais dont je veux être certain de la réponse.

Soit un jeu de 40 cartes avec 10 cartes différentes (au nombre de 4 chacune) numérotées de 1 à 10.

On distribue 4 "jeux" ou "mains" composés de 4 cartes, soit 16 cartes au total.

Comment calculer la probabilité :

1- Qu’aucun 10 ne soit distribué

2- Qu'un seul 10 soit distribué

3- Que 2 10 seulement soient distribués

4- Que 3 10 seulement soient distribués

5- Que les 4 10 soient en jeu

6- Qu'un jeu contienne 2 10 et les autres aucun (est-ce que le résultat est identique à 3, je pense que oui)

7- Qu'un jeu contienne 2 10 et un autre un, le 4ème restant dans le sabot (est-ce que le résultat est identique à 4, je pense que oui)

Maintenant, on connait la contenance de 2 jeux sur 4.

Sachant que ces 2 jeux contiennent un seul 10, quelle est la probabilité que les 2 autres en contiennent 1 ?
en contiennent 2 ?
en contiennent 3 ?

Sachant que ces 2 jeux contiennent un seul 10, quelle est la probabilité qu'un des 2 autres jeux en contiennent 2 ?

Sachant que ces 2 jeux contiennent deux 10, quelle est la probabilité que les 2 autres en contiennent 1 ?
en contiennent 2 ?

Sachant que ces 2 jeux contiennent deux 10, quelle est la probabilité qu'un des 2 autres jeux en contiennent 2 ?

Merci d'avance.
-----

[CZZK]

Bonjour.

Est-ce que la réponse au 1 est ? C(4,24) / C(4,40)

[gg0]

Non !

On distribue 16 cartes, pas 4; et il y a 40 cartes dont 4 sont des 10.

Cordialement.

[CZZK]

Merci pour votre réponse.

On aurait donc ? C(16,40) / C(16/36)

Ce calcul donne le même résultat que la fraction de combinaisons que j'ai donnée.

[A voir en vidéo sur Futura]

[gg0]

Ah non, ça ne donne pas le même résultat : le premier était inférieur à 1, celui-ci est supérieur à 1. Ce n'est même pas une probabilité.

Sinon, il est vrai que . Mais ce n'est pas la réponse à la question 1 qui est : "Comment calculer la probabilité Qu’aucun 10 ne soit distribué ?".

Cordialement.

NB : je serais curieux de savoir d'où tu sors ce

[CZZK]

Bonjour.

Tout à fait, dans la précipitation, j’ai inversé les fractions mais c’est bien ce que je voulais écrire.

Ce résultat provient de : [C(4,36) * C(4,32) * C(4,28) * C(4,24)] / [C(4,40) * C(4,36) * C(4,32) * C(4,28)]


J'obtiens les résultats suivants :

1 : 11.62%

2 : 35,43%

3 : 36,24%

4 : 14,71%

5 : 1,99%

Par ailleurs, j'ai l’impression que le résultat de 6 n'est pas égal au 3 ???

[gg0]

Ok,

je comprends mieux comment tu as fait.
mais en tout cas, la question posée est comment calculer, pas seulement le résultat. Et tu ne justifies pas ta méthode pour le 1.

Pour le 6 et le 3, il n'y a pas identité des questions. Dans le 3, les cartes 10 peuvent être dans deux jeux différents, donc la probabilité augmente.

Si tu as des problèmes pour justifier tes calculs, on peut en parler.

Cordialement.

[CZZK]

Même si dans l'énoncé des 5 premiers exercices, je m’aperçois que la notion de main ne change rien à l'affaire (le tirage revient à 16 cartes parmi 40), je l'intègre dès à présent puisque je vais m'en servir plus tard.

Aussi, nous avons un total de combinaisons possibles qui est de tirer 4 cartes parmi 40, puis 4 parmi 36 puis 4 parmi 32 et enfin 4 parmi 28. Ce qui donne : C(4,40) * C(4,36) * C(4,32) * C(4,28)

Pour aucun 10 distribué nous avons un total de combinaisons qui est de tirer 4 cartes parmi 36 (pas de 10), puis 4 parmi 32 puis 4 parmi 28 et enfin 4 parmi 24. Ce qui donne : C(4,36) * C(4,32) * C(4,28) * C(4,24).

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Pour le 6, j'ai ceci : [C(2,4) * C(2,36) * C(4,34) * C(4,30) * C(4,26) + C(4,36) * C(2,4) * C(2,32) * C(4,30) * C(4,26) + C(4,36) * C(4,32) * C(2,4) * C(2,28) * C(4,26) + C(4,36) * C(4,32) * C(4,28) * C(2,4) * C(2,24)] / [C(4,40) * C(4,36) * C(4,32) * C(4,28)]

= 7,25%

A noter que les 4 entités qui sont additionnées sont identiques. Je ne sais pas si on peut en déduire qu'on peut faire un raisonnement du type 4 * (Un paramètre à déterminer)

[gg0]

Nombre de cas où telle main a les deux 10 multiplié par 4, puisqu'il y a 4 mains. Pourquoi "entités" , tu ne connais pas la nature de "C(2,4) * C(2,36) * C(4,34) * C(4,30) * C(4,26)" ? C'est un nombre. Entier.

Toujours le même reproche : des calculs, pas de justifications. Or tu as su le faire en partie pour le 1.

[CZZK]

Ce raisonnement est faux puisqu'il revient à faire 4 essais de tirage de 4 cartes en remettant les cartes dans le sabot après un essai.

[gg0]

Non !

Seulement la décomposition en 4 cas, exactement comme tu l'as fait. et la remarque que les nombres de cas sont les mêmes par "symétrie" (ce qui arrive à la main x arrive de la même façon à la main y).

Alors qu'avec 4 essais avec remise, le nombre de cas se multiplierait (de différentes façons suivant ce qu'on considère).

Pour la probabilité, on utiliserait de même l'équiprobabilité de 4 événements incompatibles.

Cordialement.

[CZZK]

Très bien, merci.

Est-ce qu'on peut dire de la même façon pour le 7 : [4 * [C(2,4) * C(2,36) * C(1,2) C(3,34)* C(4,30) * C(4,26)]] / [C(4,40) * C(4,36) * C(4,32) * C(4,28)] = 1,87%

[gg0]

Si un raisonnement élaboré t'amène à ce résultat, il est bon.

Encore une fois, ce qui compte (et qui est demandé par ton énoncé) est le raisonnement). Attention : il y a 4 mains, mais 12 façons de choisir en même temps la main qui aura deux dix et la main qui en a 1.

NB : à première vue, il y a un souci ...

[CZZK]

Je vois où vous voulez en venir. L'ordre intervient puisque tirer 1 10 en main 1 puis tirer 2 10 en main 4 est différent de : tirer 2 10 en main 2 puis tirer 1 10 en main 3

On aurait plutôt : [A(2,4) * [C(2,4) * C(2,36) * C(1,2) C(3,34)* C(4,30) * C(4,26)]] / [C(4,40) * C(4,36) * C(4,32) * C(4,28)] = 5,61%

Questions supplémentaires :

8 : Comment calculer la probabilité qu'au moins une main contienne 3 cartes (et uniquement 3) identiques ?

9 : Comment calculer la probabilité qu'au moins une main contienne 2 cartes identiques associées à 2 cartes identiques ? (en incluant les carrés)

Pour le 8, je vois : [A(1,4) * 10 * C(3,4) * C(1,9) * C(4,36) * C(4,32) * C(4,28)] / [C(4,40) * C(4,36) * C(4,32) * C(4,28)] = 1,58%

Pour le 9, je vois : [A(1,4) * [10 + C(2,4) * C(2,4) * (9+8+7+6+5+4+3+2+1)] * C(4,36) * C(4,32) * C(4,28)] / [C(4,40) * C(4,36) * C(4,32) * C(4,28)] = 7,13 %

Avec le 10 qui représente les carrés et ensuite C(2,4) qui représentent la possibilité de faire une paire et la suite de 1 à 9 pour éviter de compter 2 fois les mêmes mains.

[gg0]

Heu ... après le tirage du troisième 10 et des trois cartes qui restent, la troisième main n'est pas un tirage parmi 30 cartes ...

je suis persuadé que tu ne rédiges pas l'explication de tes calculs, tu te contentes de les écrire, ce qui explique ces erreurs. Je te laisse faire sérieusement cette question et les suivantes. Si tu mets tout bien à plat, tu n'auras pas besoin de confirmation.

[CZZK]

En effet. On ne peut choisir que parmi 31 cartes : [A(2,4) * [C(2,4) * C(2,36) * C(1,2) * C(3,34) * C(4,31) * C(4,27)]] / [C(4,40) * C(4,36) * C(4,32) * C(4,28)] = 7,56%

[CZZK]

Comment répondre à cette question ?

- Quelle est la probabilité d'avoir 4 mains contenant chacune 4 cartes différentes ?

[CZZK]

J'ai peur de faire une erreur.

Pour une main, est-ce qu'on peut dire qu'on tire parmi 10 cartes différentes puis parmi 9 puis parmi 8 et enfin parmi 7 ? Et comme on doit avoir 4 fois cela en même temps, on a :

(10*9*8*7)^4/[C(4,40) * C(4,36) * C(4,32) * C(4,28)]

Est-ce juste de raisonner comme cela ?

[gg0]

Désolé, je ne comprends pas.

La méthode classique est de définir un univers, permettant d'utiliser l'équiprobabilité, puis de déterminer le nombre de cas possibles et le nombre de cas favorables. Comme tu ne précises rien, tes calculs n'ont aucun sens.
Depuis le début je te demande d'expliquer comment tu fais, tu te contentes d'écrire des multiplications.

A noter : "avoir 4 mains contenant chacune 4 cartes différentes" est assez courant, car en général, une carte est dans une seule main, lors d'une distribution. Donc cet énoncé est trop flou pour être utilisable : Que signifie "différentes" ?

[CZZK]

L'univers est la distribution de 4 fois 4 cartes parmi 40.

Il y a 4 10 identiques, 4 9 identiques etc ... dans les 40 cartes.

Avoir 4 mains contenant chacune 4 cartes différentes, c’est par exemple avoir : {10,9,8,7},{10,9,8,6},{,9,8,6, 1},{6,4,2,1}

[gg0]

Ton univers n'est pas défini : "la distribution" n'est pas un ensemble. Si tu n'es pas capable de définir les cas possibles, il va être dur de travailler ...

D'après ce que tu dis, cartes différentes veut dire cartes de valeurs différentes. Pourquoi n'est-ce pas dans l'énoncé ?

[ansset]

la première chose à savoir c'est si tu distribue carte /carte : une à l'un , une à l'autre.
ou si si tu en donne directement 4 à l'un puis 4 à l'autre.
car l'arbre des probas n'est pas le même.

[iharmed]

Bonjour.
Voici un petit problème probablement simple mais dont je veux être certain de la réponse.
Soit un jeu de 40 cartes avec 10 cartes différentes (au nombre de 4 chacune) numérotées de 1 à 10.
On distribue 4 "jeux" ou "mains" composés de 4 cartes, soit 16 cartes au total.
Comment calculer la probabilité :
Merci d'avance.

Bonjour et Merci d'avance.

Votre question m’a donné une idée

Et si on fait ca manuellement, ca va demander une année de travail et je ne sais pas est ce que le résultat sera juste.

Vous et trois de vous amis vous faite la distribution réellement de 4 "jeux" ou "mains" composés de 4 cartes, soit 16 cartes au total.et vous noter les résultats sur un tableau.

Une distribution avec comptage et prise de note sur tableau dure 1 minute soit 60 tirages par heure

Avec 8h par jour vous aurez 480 tirages

Avec 6 jours par semaine vous aurez 1920 tirages en un mois

Et sur 11 mois par an (1 mois de congé est nécessaire) vous aurez 20 000 tirages (on néglige 1120 pour arrondir le chiffre)

Vous divisez les résultats obtenus par 20 000 et vos aurez vos probabilités

[ansset]

merci de ta "contribution", mais il me semble qu'on pourrait facilement calculer la probabilité recherché si l'énoncé était clair.

[CZZK]

la première chose à savoir c'est si tu distribue carte /carte : une à l'un , une à l'autre.
ou si si tu en donne directement 4 à l'un puis 4 à l'autre.
car l'arbre des probas n'est pas le même.

Est-ce que cela fait également une différence pour les résultats précédents ?

En l’occurrence, il se passe ceci dans tous les cas : une carte est distribué à joueur 1 puis une à joueur 2 et ainsi de suite carte par carte et toujours dans le même ordre de joueur. Le dernier à recevoir une carte est donc J4.

[gg0]

En fait, ça ne change rien aux probabilités, puisqu'il s'agit simplement d'une permutation (*). Par contre, ça donne deux façons de calculer.

Cordialement.

(*) La probabilité à priori que la cinquième carte soit un dix de cœur est la même que celle que la première soit un dix de cœur. Bien entendu, La probabilité que la cinquième carte soit un dix de cœur sachant les 4 premières distribuées n'est plus la même.

[iharmed]

merci de ta "contribution", mais il me semble qu'on pourrait facilement calculer la probabilité recherché si l'énoncé était clair.

quel est votre commentaire sur ma contribution.

si en répète un événement 20 000 fois et on calcul manuellement le résultat est ce qu'il se confondra avec la probabilité théorique ?

si non combien de fois doit-je faire le test?

[gg0]

A priori une infinité de fois

[iharmed]

A priori une infinité de fois

C’est la réponse que je craignais.

Mais à défaut de formule, il vaut mieux passer à la façon manuelle que de ne rien faire.

Je lance 4 petits objet et je vois combien de fois ils forment un triangle avec un à l’intérieur.

Je défini la probabilité en fonction des résultats obtenus dans l’attente que quelqu’un trouve la formule

[CZZK]

En fait, ça ne change rien aux probabilités, puisqu'il s'agit simplement d'une permutation (*). Par contre, ça donne deux façons de calculer.

Cordialement.

(*) La probabilité à priori que la cinquième carte soit un dix de cœur est la même que celle que la première soit un dix de cœur. Bien entendu, La probabilité que la cinquième carte soit un dix de cœur sachant les 4 premières distribuées n'est plus la même.

Le jeu est unicolore. Par analogie, cela revient à un sac avec 4 boules blanches, 4 boules noires et ainsi de suite avec 8 autres couleurs différentes.