Extention du modèle d'ehrenfest

[ecolo93]

Je travaille sur le modèle d'ehrenfest (modèle des chiens et des puces). J'ai considéré qu'il y avait 4 puces sur le chien 1. A chaque instant une puce saute d'un chien à l'autre au hasard. Je veux étudier le cas où à chaque instant le propriétaire du chien 1 peut se rendre compte de la présence de puces sur son chien et souhaiter le traiter. Le pourcentage de chance pour que le propriétaire détecte les puces est égal au nombre de puces sur le chien. l’insecticide est efficace à 100% au moment de l'application et n'a plus d'effet par la suite.
Mon souci est de savoir les probabilités entre les états possibles.
Voici les états possibles que j'ai trouvé joint sous forme d'image:




SOS
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[minushabens]

Si je m'en souviens bien, dans le modèle d'Ehrenfest le nombre de puces est fixé. Si tu admets qu'on peut tuer des puces ce n'est plus le cas, mais pourquoi pas?

il te faut modéliser la probabilité que le chien 1 soit traité.

[ecolo93]

Merci d'avoir répondu. La probabilité que le chien 1 soit traité est la probabilité que les puces soient détectées par le propriétaire. Et cette probabilité est connu c'est égal au nombre de puces sur 100. Il y a 2 chiffres dans chaque compartiment car chaque chiffre représente le nombre de puces sur chaque chien.
Je cherche du coup les états possibles et la probabilité de transition entre chaque état en considérant 4 puces au départ sur le chien 1.

[minushabens]

Si le chien 1 a à l'étape k n puces. Il passe à l'état 0 sous deux conditions :
1) il n'est pas traité, toutes ses puces sautent sur le chien 2 et aucune ne saute du chien 2 au chien 1 ou bien
2) il est traité et aucune puce du chien 2 ne saute sur lui.

Les deux conditions sont exclusives dont les probas s'ajoutent.

Pour 1) La proba qu'il ne soit pas traité est (1-n/100). On va supposer que la proba de saut de 1 à 2 est p1. La proba que toutes les puces se barrent est p1^n. Si la proba de saut de 2 à 1 est p2, la proba qu'aucune puce ne vienne est (1-p2)^m (si le chien 2 a m puces). Il faut faire le produit de ces 3 facteurs.

Pour 2) c'est (n/100)*(1-p2)^m

Si le chien 1 ne passe pas à l'état 0 c'est un peu plus compliqué mais tu peux toujours raisonner en distinguant deux cas: il est traité (puis réinfesté) ou pas traité.

[A voir en vidéo sur Futura]

[ecolo93]

Merci pour votre aide. je suis d'accord pour les deux cas: soit le chien est traité ou pas.
Mais je pense que le chien 1 peut passer à l'état 0 même dans la condition ou la puce peut sauter dans les deux sens. Au départ on considère que toutes les puces sont sur le chien 1 donc elles peuvent toutes se retrouver sur le chien 2 au bout d'un certain temps.