Limite de somme

[Herosix]

Bonjour,

étudiant actuellement les limites sur les sommes, je bloque à un exercice (de type facile...) que voici:

Je recherche donc la limite en +infini.
J'ai essayé d'encadrer cette somme en remarquant mais après, je bloque (l'encadrement se simplifie et il ne me reste plus de "n" pour faire une limite égale des 2 côtés)...

Pouvez vous m'indiquer une démarche à suivre ?

Merci
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[gg0]

Bonjour.

Il y a sans doute des façons plus simples. mais en voila une :
* On remarque que chaque terme de la somme est supérieur ou égal à 1, donc
* On choisit un . comme tend vers 0, il existe un n0 tel que pour . On en déduit une majoration de U_n qui montre que pour n assez grand . le deuxième epsilon est là à cause des i<n₀.
* On conclut.

C'est assez lourd, j'imagine qu'il y a des méthodes plus simples (comparaison avec une intégrale ?)

Cordialement.

[Universus]

Bonjour,

Soit la suite . Nous devons calculer la limite de la suite des moyennes de cette suite, à savoir où . Considérant le lemme de Cesàro, il est pertinent de vérifier si la suite converge et si oui, vers quelle valeur.

[Herosix]

Bonsoir,

J'imagine bien la résolution du problème avec la moyenne de Césaro, cependant je ne sais toujours pas calculter la limite de cette somme...

Concernant la première proposition de résolution, je me penche dessus et je reviens vers vous plus tard.

Cordialement

[A voir en vidéo sur Futura]

[Herosix]

Avec la somme suivante (on va essayer avec la méthode de Cesàro):

Or on a (reste à démontrer) d'où

Ainsi

En appliquant le lemme de Cesàro (qui, si j'ai bien compris, marche aussi avec les infinis), on a donc:


Corrigez moi si j'ai faux, je n'ai jamais utilisé ce lemme

[Herosix]

J'ai mal compris le lemme apparemment, la suite Un converge vers 1 apparemment. J'ai pris toute la somme, mais j'aurai dû juste prendre la limite en l'infini de k^1/k qui tend bien vers 1.
Excusez moi de la mal compréhension !

[Universus]

Bonjour,

Malheureusement, vous n'avez pas utilisé le lemme correctement.

L'idée du lemme est assez simple. Si une suite converge vers un réel , alors « presque tous » les valent approximativement , de sorte qu'en prenant la moyenne de suffisamment de termes, les quelques termes « différant notablement » de contribuent bien peu à la moyenne, moyenne qui tend donc aussi vers .

Puisque le terme est la moyenne des premiers , si , alors pour . Ainsi, implique .

C'est cette dernière limite qui vous intéresse, alors il est pertinent de calculer la limite des (si elle existe). Si elle existe, le résultat sera aussi la limite des et donc la réponse que vous recherchez.

[Herosix]

Bonjour,

n'est-ce pas ce que j'ai utilisé dans le précédent message ?
En effet, j'affirme que:
(en utilisant le théorème des croissances comparées)
D'où en utilisant le lemme de Cesàro on en déduit que

Je ne comprends pas où je n'ai pas compris si ce que je viens de faire n'est pas le bon raisonnement

Cordialement

[Universus]

Désolé, je n'avais pas vu le message #6 ! Celui-ci et votre dernier message répondent à la question