Espace vectoriel de dimension finie, automorphisme

[red17]

Bonsoir,

Je n'arrive pas à montrer qu'un endomorphisme est un automorphisme.
Par définition, un automorphisme est un endomorphisme bijectif.
On est en dimension finie, donc il suffit de montrer au choix que f est injective ou f est surjective.

Voici l'énoncé :
On pose E =
f est un endomorphisme de E vérifiant :
et pour entier naturel


J'ai montrer qu'il exister un vecteur de tel que
J'ai pu montrer que la famille est une base de E

Il faut montrer que Id-f est un automorphisme, et déterminer sa bijection réciproque.
Pour ce faire, voici mon raisonnement :
Montrons que Id-f est surjective, donc montrons que
Dans ce cas, montrons que
D'où la nécessité de trouver une base de

C'est là que je munit de sa base canonique
Et je me donne un vecteur de , que j'exprime comme combinaison linéaire des vecteurs de la base :




d'où :




en factorisant par les scalaires , il vient que est génératrice de
mais je n'arrive pas à montrer la liberté de cette famille, je ne sais rien de et ça me bloque

Déjà est-ce le bon raisonnement ?
Quelqu'un aurait des indications ?
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[PlaneteF]

Bonsoir,

Je n'ai pas lu ta démonstration et donc je ne vais pas te dire si c'est bon ou pas, ... mais voici un moyen très simple de procéder.

Je te donne la piste suivante :

Dans , calcule la quantité suivante : --> Tu tombes sur un résultat archi-classique.

Maintenant inspire toi de ce calcul pour trouver une relation similaire avec l'endomorphisme de ton énoncé.

A partir de là la conclusion est immédiate.


Cordialement

[red17]

Merci pour cette réponse PlaneteF.
Si l'on calcule la quantité que vous me donner dans , on a :


Ah c'est très malin je crois qu'il faut calculer la chose suivante :

(Id-f)o(Id+f+...+f^{n-1})
Et normalement, on devrait obtenir l'identité.

Et dans ce cas, il sera évident que Id-f est un automorphisme de bijection réciproque Id+f+...+f^{n-1}

Je me lance dans le calcul.

Merci

[red17]

Re,
Soit
On a:


car

donc :


et mes prévisions sont justes.


Comment faites vous pour avoir une telle intuition

Merci beaucoup en tout cas

[A voir en vidéo sur Futura]

[PlaneteF]

Soit
On a:


car

donc :


et mes prévisions sont justes.

Attention, ta démonstration n'est pas totalement complète --> Il manque 2 choses à préciser.

Sinon petite remarque : Laisse tomber le vecteur dans ton écriture, il ne sert à rien.


Cdt

[red17]

D'accord.
Quant aux deux choses à préciser, je suppose qu'il faut dire :
pour tout vecteur u dans E , la propriété est vérifié.
et comme deuxième chose, je ne vois pas tellement.

[PlaneteF]

En fait c'est OK compte tenu de ta remarque sur la dimension finie.

Cdt

[red17]

Et en conclusion on rajoute que :
Donc admet un endomorphisme réciproque.
Donc est un automorphisme, et sa bijection réciproque est

[PlaneteF]

En fait tu as démontré que est inversible à droite, donc surjective, et donc, pour un endomorphisme en dimension finie, bijective.

Cdt