Equation fonctionnelle difficile

[invite636fa06b]

Bonjour à tous

Un problème qui préoccupe pas mal de monde sur d'autre forums :
trouver f continue définie sur R telle que f(1/x) = f(x+1)-f(x).


posée à l'origine sur ce forum :
http://www.maths-forum.com/showthread.php?t=17328
(l'origine de l'équation figure en page 4 message 38)
elle a essaimé sur :
http://les-mathematiques.u-strasbg.f...12862&t=312862
où il y a pas mal de choses intéressantes
et également quelques autres :
http://www.mathematex.net/phpBB2/equ...lle-vt944.html
http://www.mathsland.com/index.php?p...c750c80d4b19c6

Identiquement nulle ou pas ?
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[invite636fa06b]

Quelques compléments :
On sait que la fonction s'annule pour phi=nbre d'or=1,618...
que sa limite en + ou- infini est f(1)
qu'elle vérifie l'équation f(1+x)=f(1+1/x) mais ce n'est pas suffisant
que sa connaissance sur [1;1,5] la détermine sur R
qu'elle a une symétrie par raport au point (1;f(1))
Que l'on a trouvé des exemples non triviaux avec une discontinuité en un point

[martini_bird]

Salut,

je crois que la fonction convient...

Plus précisément : la question revient à chercher g(x)=f(x+1) telle que g(1/x)=g(x), et la fonction bien connue de Jacobi vérifie ...

Cordialement.

EDIT : j'ai rien dit, la fonction n'est pas définie en x=1.

[invite636fa06b]

Bonsoir

Salut,
Plus précisément : la question revient à chercher g(x)=f(x+1) telle que g(1/x)=g(x)

Oui cette condition est nécessaire mais elle n'est pas suffisante, elle doit aussi vérifier g(x)+g(-x)=constante au moins pour les entiers.

[A voir en vidéo sur Futura]

[martini_bird]

Oui, je suis allé trop vite en besogne...

[YMar]

Zinia, votre message datant de 2006 j'ai relancé la discussion. Mais avant de donner la solution, je laisse une nouvelle chance de relever ce défi.