Diagonalisation matrice sym

[nodh]

Bonjour,

Je suis confronté à un problème de diagonalisation de matrice.

La matrice A suivante:
286436 1532 -7128
1532 136343 -29232
-7128 -29232 150840

Admet pour valeurs propres:
286874 113415 173329

et vecteurs propres associés:
0,998157288 0,018482382 0,057796446
0,021200249 0,786238426 -0,617559461
-0,056855756 0,617646776 0,784397784

Mon problème est le suivant:
Bien que :
A soit symétrique, réelle, et positive
la matrice P de passage associée aux valeurs propres otrhogonnale

La matrice D sortie par tP.A.P n'est pas diagonale (et donc différente de celle avec uniquement les valeurs propres).

Pouvez vous m'indiquer où est mon erreur ?
La méthodologie appliquée ne me semble pas délirante pourtante.

Merci
Cordialement,

Philippe
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[gg0]

Bonjour.

Tu es sûr de tes valeurs propres ? Mon esclave numérique donne une seule valeur propre réelle. les deux autres sont complexes avec une partie imaginaire de l'ordre de -2.10^-5.

Ne serait-ce pas un exercice piège, qui montre les limites d'un calcul approché imprécis ? Comment as-tu obtenu ces valeurs propres ?

Cordialement.

[Jokmail]

Bonjour,

Pour moi, les valeurs propres sont : .

[gg0]

Vous parlez de valeurs propres exactes ????

Le polynôme caractéristique (au signe près éventuellement) est . On a
P(113415)=-3445121088; P(113416)=6947397120
P(173329)=697392786; P(173330)=-6105586748 donc une deuxième racine réelle

A vue de nez, cela dit que le calcul des valeurs approchées des racines par Maple a coincé : Il y a bien 3 racines réelles. Mais elles ne sont sans doute pas assez précises pour la suite des calculs.
Peut-être y aura-t-il moins de soucis avec 286874.5660,113415.3315173329. 1025, 113415.3315.

Je retiens pour ma gouverne que dans ce type de cas, même Maple se fait coincer en calcul approché.

Cordialement

[A voir en vidéo sur Futura]

[minushabens]

R dit :

> ma
[,1] [,2] [,3]
[1,] 286436 1532 -7128
[2,] 1532 136343 -29232
[3,] -7128 -29232 150840

> eigen(ma)
$values
[1] 286874.6 173329.1 113415.3

$vectors
[,1] [,2] [,3]
[1,] 0.99815720 0.05779752 0.01848362
[2,] 0.02119976 -0.61755697 0.78624040
[3,] -0.05685743 0.78439967 0.61764423

> eigen(ma)$vectors%*%diag(eigen (ma)$values)%*%t(eigen(ma)$vec tors)-ma
[,1] [,2] [,3]
[1,] 0.000000e+00 -5.229595e-12 -1.818989e-12
[2,] -4.320100e-12 -5.820766e-11 5.820766e-11
[3,] -1.818989e-12 6.548362e-11 -2.037268e-10
>

[nodh]

Bonjour à tous,

merci pour vos réponses.
Les valeurs et vecteurs propres proviennent de la combinaison de matrices de passage pour passer d'un repère orthonormé direct B à un autre B' (repère global vers repère principal)
Je trouve mes angles de passage de B vers B' grâce à une méthode analytique:
par exemple, pour ma rotation de mon repère global autour y:

ce qui me donne par exemple pour ma matrice de passage

Voila d'où vient ma matrice de passage, elle est purement analytique...mais fausse...pourtant je respecte bien mon ordre de rotation.
De mon coté, j'ai aussi essayé d'autres méthodes, notamment Jacobi, qui s'accorde très bien avec des matrices 3*3 et je retrouve les vecteurs propres de minushabens ...

Cette méthode de combinaison de matrice de rotation ne serait elle pas applicable pour trouver mes vecteurs propres ?

Merci pour vos lumières.