Matrice de la projection orthogonale hermitienne

[bambar]

Bonjour à tous,

J'essaie de résoudre un exercice et quelque chose m'échappe:

Enoncé: On est dans C³, soit F le sous-espace d'equation x1-x2+ix3.
Calculer la matrice de la projection orthogonale sur F dans la base canonique.

Ma réponse: Je cherche une base de F, je trouve la base dirigée par u1 u2 avec u1=(1 1 0) et u2=(-i 0 1)

Maintenant je calcule les projetés de e1 puis e2 puis e3 sur F:

proj_F(e1)=(u1,e1)u1+(u2,e1)u2=..... .=(0 1 -i)
proj_F(e2)=(u1,e2)u1+(u2,e2)u2=..... .=(1 1 0)
proj_F(e3)=(u1,e3)u1+(u2,e3)u2=..... .=(-i 0 1)

D'où la matrice de projection
(0 1 -i)
(1 1 0)
(-i 0 1)

Cependant le corrigé me propose la matrice suivante
(0 1 i)
(1 0 -i)
(-i i 0)

et le corrigé ne montrant pas les détails de calculs je n'ai pas moyen de voir où je me trompe.

Mes questions sont les suivantes:
1) où est ce que ca cloche?
2) plus généralement: les matrices de projections orthogonales sont elles symétriques ou anti-symétriques?

Merci de m'avoir lu.
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[sylvainc2]

Je trouve A=
[ 0 1 -I]
[ 1 0 I]
[-I I 2]

C'est une projection, donc on doit avoir A^2 = A et det(A)=0, c'est bien le cas.

J'ai fait comme ceci: on construit une base de C^3 avec tes u1, u2 augmentée de u3=(1,-1,I), u3 est orthogonal à u1 et u2.

On les mets dans une matrice de passage P=[ u1 u2 u3 ]

On construit la matrice de la projection ortho dans cette base: B=
[ 1 0 0]
[ 0 1 0]
[ 0 0 0]

Les 2 premières colonnes correspondent aux vecteurs u1 et u2 car ils sont inchangés par la projection, la 3e colonne est pour u3 qui doit être mis à zéro par la projection.

Finalement on fait: A=P B P^1.

Pour vérifier, on a bien A u1 = u1, A u2 = u2 et A u3 = 0.

[bambar]

Super! merci d'avoir répondu.

J'avais pas pensé à ta méthode, je la retiens.
Mais ducoup concernant la méthode initiale j'aimerais quand même comprendre pourquoi mes calculs de proj(e2) et proj(e3) sont faux.
Quelqu'un voit?

[gg0]

Bonsoir.

Pour ma part, je ne vois pas d'où tu as sorti ces calculs. Ils me semblent valides en géométrie plane à condition que U1 et U2 forment une base orthonormale, mais ici ?

Cordialement.

[A voir en vidéo sur Futura]

[bambar]

Salut gg0,
tu parles de mes calculs ou ceux de sylvain?

[gg0]

Ben ... des tiens. C'est bien toi qui disais "j'aimerais quand même comprendre pourquoi mes calculs de proj(e2) et proj(e3) sont faux."

Après réflexion, c'est bien là le souci : ta base n'est pas orthonormale, et tu utilises une formule des projetés qui suppose qu'elle l'est.

[bambar]

ok
J'orthonorme et j'obtiens une nouvelle base f1 f2 avec f1= (1/√2,1/√2,0) et f2=1/√3(-i√2/2,i√2/2,√2)
Puis j'ai proj(e1)=1/2√3(√3-2,√3+2,-4i)

c'est bizarre ce que je trouve