Morphisme d'anneaux

[Edvart]

Bonjour,

Déjà désolé pour les 3 questions en 3 jours! J'aimerais parler un peu de la définition d'un morphisme d'anneaux. Chez moi c'est :

f : A -> B
f(a+b) = f(a) + f(b)
f(a*b) = f(a) * f(b)
f(1A) = f(1B)

Deux questions :
1) Pourquoi n'y a-t-il pas comme condition que f(0A) = f(0B)?
2) N'est-ce pas simplifier que de dire que l'addition et la multiplication est la même dans les deux anneaux? Pour être honnête je m'attendais à une définition de ce genre :
Soient (A,+,*) et (B,#,°) des anneaux,
f : A -> B est un morphisme d'anneaux si
f(a+b) = f(a) # f(b)
f(a*b) = f(a) ° f(b)
f(0A) = f(0B)
f(1A) = f(1B)

Je dis ça parce que dans toutes les définitions d'anneau que je trouve on parle d' "addition" et de "multiplication" toujours entre guillemets, ce qui suppose donc qu'il y a des anneaux dont les éléments sont de nature diverses et donc des anneaux qui donnent lieu à des additions de diverses sortes, cependant dans tous les exemples jusqu'à maintenant les anneaux ne sont concernés que par l'addition et la multiplication "classique".

Merci d'avance!
-----

[minushabens]

Bonjour,

les lois d'anneaux différents sont bien sûr différentes. On les note de la même manière avec les symboles + et * (ou . ou rien) mais c'est une convention. Si tu travailles avec les anneaux de nombres classiques (Z, Q, R, C et quelques autres) il se trouve que les lois "sont les mêmes" mais si tu y réfléchis tu vois qu'en tant qu'applications de AxA dans A elles sont distinctes, n'ayant pas les mêmes ensembles de départ et d'arrivée.

[Neluge]

J'ajoute que, si tu veux l'écrire plus rigoureusement, tu peux toujours noter :


Les opérations + et * concernant des objets différents, elles sont donc bien sur différentes dans A et dans B, mais tu admettras que c'est un peu lourd de manipuler des +A, des # ou que sais-je dans les démonstrations...
En effet, dans un anneau, les opérations ne sont pas toujours des additions ou des multiplications : par exemple, on peut avoir la composition pour des anneaux de fonctions.

Quant a ta première question, découle de . C'est une propriété élémentaire des morphismes de groupe :
donc . En revanche, cela ne marche pas de la même manière pour f(1) : , mais a priori, rien ne nous autorise a "simplifier" (cad a multiplier par ), car on n'est pas sur que f(1) a un inverse dans B ! Pour éviter des comportements bizarres, on l'impose dans la définition, en imposant .

[Médiat]

donc .

Bonjour,

Même dans un anneau de caractéristique 2 ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[minushabens]

Pour éviter des comportements bizarres, on l'impose dans la définition, en imposant .

en fait on n'a pas toujours beaucoup de choix. On peut considérer que la fonction nulle est un homomorphisme d'anneaux ou pas, mais si on considère une fonction non nulle, l'image de 1 doit être un élément idempotent (car f(1)=f(1*1)=f(1)*f(1) ), donc si l'anneau B n'a pas d'autre idempotents que 0 et 1 c'est terminé.

[Neluge]

Bonjour,

Même dans un anneau de caractéristique 2 ?

Oui : f(0) = 2f(0), donc en ajoutant -f(0) de chaque coté, f(0)=0.

[Médiat]

Non : Dans vous avez et pourtant

[Neluge]

Si : dans Z/2Z on n'a pas 1+1 = 1...

[Médiat]

Vous avez raison, j'étais parti de l'idée que votre raisonnement était 2f(0) = 0 entraine f(0) = 0, ce qui n'est pas le cas.

[Neluge]

Merci... vous m'aviez quand même mis le doute