[Théorie des modèles] Créer un langage L à partir des morphismes de L-structure

[Victor.S]

Bonjour, en voyant il y a peu le langage des K-espaces vectoriels ( où les vont être les fonctions "multiplier par le scalaire lambda".) je me suis dis "tiens, on aurait pu voir le produit extérieur comme une fonction à 2 arguments et finalement développer un langage totalement différent donnant lieu à des morphismes totalement différents", et du coup j'en comprends qu'on a voulu les K-ev comme une structure dont les morphismes sont les applications linéaires (si je fais une erreur grossière merci de m'expliquer =) ).

Mes questions sont donc les suivantes : Est-ce un procédé courant de créer des structures à partir des morphismes ? Existe-t-il des méthodes ou des techniques pour parvenir à trouver un langage à partir de la définition précise des morphismes que l'on souhaiterait avoir ?

Désolé pour ces questions naïves, mais si elles y sont répondues classiquement dans certains cours/ouvrages classiques merci de me guider pour les trouver car je n'ai rien trouvé ...
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[Médiat]

Bonjour,

J'avoue ne pas bien comprendre ce que vous voulez dire, la notion de morphisme (au sens de la théorie des modèles) étant directement issue du langage, je ne vois pas comment vous pouvez définir un morphisme sans langage ; peut_être du côté de la théorie des catégories ...

[Victor.S]

Par exemple on peut dire "oh j'aime bien les applications linéaires, ça vérifie certaines propriétés intéressantes si ça se trouve on peut trouver un langage L tel que les applications linéaires sont les morphismes de L-structure".
Donc là on connaît les morphismes avant le langage mais c'est un abus de langage si vous voulez, oui on ne sait pas si ce sont des morphismes avant d'avoir trouvé le langage, ça me paraissait plus clair de formuler comme ça mais visiblement non.
La question est "j'ai des applications qui vérifient certaines propriétés, existe-t-il et si oui comment trouver un langage L tel que ces applications précises soient des morphismes de L-structure ?"

[Médiat]

Comment définissez-vous les applications linéaires sans langage pour les exprimer ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[Victor.S]

Bah par exemple dans le langage des corps. Mais ça ne sera pas le langage L qui fera qu'elles en seront les morphismes de L-structures.

[Victor.S]

Enfin là j'ai pris un exemple particulier des applications linéaires dans un corps mais dans un cas plus large j'ai exprimé dans mon premier message deux langages différents dans lesquels on pouvait exprimer les applications linéaires. Un langage où on voit le produit extérieur comme une fonction d'arité 2 et un autre comme plein de fonctions d'arité 1.
Il y en a seulement un des deux qui est un langage dans lequel les applications linéaires sont les morphismes des structures.

Ce que je dis a le sens suivant si vous voulez :
On ecrit les propriétés que doivent vérifier les applications dans un langage J.
On se demande si il n'existerait pas un langage L pouvant aussi les exprimer (en changeant les arités, les points de vues sur les définitions etc.) mais tel que ces applications soient les morphismes de L-structure.

[Médiat]

Vous voulez définir les espaces vectoriels avec une multiplication interne (celle des corps) ?

Comme je ne comprends vraiment pas où vous voulez en venir, je passe la main, à moins que vous ne proposiez un exemple complet que je puisse comprendre :

1. langages utilisés
2. structures utilisées
3. morphismes utilisés
4. etc.

[Médiat]

J'ai écrit mon message précédent avant de lire votre message #6.

Si vous voulez définir la multiplication externe comme une fonction d'arité 2, cela va complètement modifier les modèles (qui deviennent multi-types), les morphismes devront comprendre une composante "morphisme de corps", les applications linéaires usuelles devenant les morphismes dont la composante "de corps" sont en fait des isomorphismes.

[Victor.S]

cela va complètement modifier les modèles (qui deviennent multi-types), les morphismes devront comprendre une composante "morphisme de corps", les applications linéaires usuelles devenant les morphismes dont la composante "de corps" sont en fait des isomorphismes.

Tout à fait (enfin je pourrais poser une question sur le "multi-types" et le "iso" de la composante de corps mais je ne pense pas que ça soit le sujet ^^) mais du coup êtes vous d'accord avec le fait qu'il existe deux langages différents dans lesquels écrire les applications linéaires ? Et si oui qu'il n'y en a qu'un des deux qui les définisse comme les seuls morphismes ?

[Médiat]

Il y a beaucoup plus de 2 langages qui permettent de définir les ev, (ne serait-ce qu'avec ou sans le 0, avec ou sans la fonction "opposé", ...)