Revetement un peu spécial

invite52487760 · 19/04/2015, 19h10

Bonjour,

Je trouve le paragraphe suivant dans un livre de topologie algébrique que je n'arrive pas à comprendre malgré les efforts que je lui consacre, le voici :

Soit $\text{[math]}$ un polynome complexe de degré $\text{[math]}$ . Soit $\text{[math]}$ l'ensemble des racines du polynome dérivé $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ l'ensemble fini $\text{[math]}$ , et $\text{[math]}$ l'ouvert connexe $\text{[math]}$ . Alors, $\text{[math]}$ est un revetement à $\text{[math]}$ feuillets. En effet, c'est un homéomorphisme local, car $\text{[math]}$ est une immersion sur $\text{[math]}$ , et les images réciproques de chaque point de $\text{[math]}$ ont exactement $\text{[math]}$ racines.

Mes questions sont les suivantes :

$\text{[math]}$ Pourquoi $\text{[math]}$ est une immersion sur $\text{[math]}$ . ( C'est à dire, pourquoi $\text{[math]}$ est injective sur $\text{[math]}$ ? )
$\text{[math]}$ Pourquoi les images réciproques des points de $\text{[math]}$ par $\text{[math]}$ n'ont pas exactement $\text{[math]}$ racines ?

Merci d'avance.

**Seirios** · 19/04/2015, 23h46

Bonsoir,

Pour 1), tu peux utiliser le théorème d'inversion locale. Pour 2), prenons $\text{[math]}$ et considérons le polynôme $\text{[math]}$ ; on notera que $\text{[math]}$ . Si $\text{[math]}$ n'a pas exactement $\text{[math]}$ antécédents par $\text{[math]}$ , alors $\text{[math]}$ a une racine double $\text{[math]}$ , d'où $\text{[math]}$ , ie. $\text{[math]}$ .

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