Equation, racine n-ième et representation graphique

[ArtyB]

Bonjour,

Pour résoudre:

On a: (1) ou (2)
(1):
On utilise la racine n-ième de l'unité je pose z=(x-i-1) et je recherche tous les racines 3-ièmes de l'unité tels que
On a donc:



Soit:




(2):
On utilise la racine n-ième d'un nombre complexe Z de la forme:

avec R le module de Z et son argument.
( est tel que

Ici Z=-i, donc R=1 et
Les racines 5-ièmes sont donc:






Et du coup, j'ai les solutions de la forme:
pour chaque k

Est-ce que j'ai bon jusqu'ici ?
Ensuite je voudrais représenter graphiquement ces nombres, comment faire ?
La forme trigonométrique donne des trucs pas très jolis (plein de décimales après la virgule)
Peut être une représentation sur un cercle trigonométrique ? Mais je ne vois pas trop comment...
-----

[gg0]

Bonjour.

Tu peux partir des racines cubiques de l'unité et ajouter 1+i, et des racines cinquièmes de i et soustraire i.

Cordialement.

[ArtyB]

D'accord donc par exemple je fais une translation de 1+i de mon cercle ?
J'ai essayé de représenter ça graphiquement et j'obtiens ça:

*** Merci de respecter les règles pour les pièces jointes ***

Dîtes moi si c'est trop brouillon pour être compréhensible et je refais plus propre.

[gg0]

Tu peux te contenter de translater les points, avec un seul cercle, ce sera plus lisible.

[A voir en vidéo sur Futura]

[ArtyB]

Oui en effet, c'est juste que je trouvais ça plus rapide de translater les cercles.
Mais sinon c'est juste ça la représentation graphique des 8 solutions de l'équation de degré 8 ci-dessus ?

[gg0]

Ben ... 8 complexes se représentent par 8 points du plan complexe, non ?

[ArtyB]

Oui oui en effet. C'était pour avoir confirmation (je suis fatigué pardon).
Un grand merci à vous en tous cas, je suis content d'avoir compris la méthode qu'il faut appliquer quand on me demande de représenter graphiquement les solutions de cette equation.
1)Polynôme de degré n =>n solutions que l'on trouve par les racines n-ièmes
2)On les représente sur le cercle trigo
3)On les translate selon ce qu'on a

[gg0]

Évite de faire de la théorie sur les méthodes de résolution. Ça ne sert pas à grand chose : pour un exercice différent, la méthode sera différente. par contre, bien connaître le cours permet d'avoir les bonnes idées. C'est déjà pas mal de le connaître à fond.